Cho $z_1,z_2$ là hai nghiệm phương trình $|6-3i+iz|=|2\bar{z}-6-9i|$ thỏa mãn $|z_1-z_2|=\frac{8}{5}$. Giá trị lớn nhất của $|z_1+z_2|$ là

Ta có: $|6-3i+iz|=|2\bar{z}-6-9i|\iff |z-3-6i|=|2z-6+9i|$.
Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$), biến đổi ta được phương trình đường tròn: $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=1$.
Tâm $I(3;4)$, bán kính $R=1$.
Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn $z_1,z_2$ và $C$ là trung điểm $AB$.
Ta có $IC=\sqrt{R^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\frac{3}{5}$.
Do đó $C$ thuộc đường tròn tâm $I(3;4)$, bán kính $r=\frac{3}{5}$.
Khi đó $|z_1+z_2|=2OC\le 2(OI+IC)=2\left(5+\frac{3}{5}\right)=\frac{56}{5}$.