Nếu ${\int }_1^{2}f(x)dx=3$ và ${\int }_2^{5}f(x)dx=-1$ thì ${\int }_1^{5}f(x)dx$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là hàm $F(x)$. Biết rằng $F(1)=9,F(2)=5$. Giá trị của tích phân ${\int }_1^{2}f(x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, $y=0$, $x=0$ và $x=4$ (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Tích phân $I={\int }_0^1{e}^{x+1}dx$ bằng

Đổi biến $x=4\sin t$ của tích phân $I={\int }_0^8\sqrt{16-x^2}dx$ (với cận $x\in [0;4]$ chuẩn) ta được $I=a{\int }_0^{\frac{\pi }{b}}(1+\cos 2t)dt$ với $a,b\in \mathbb{N}$. Tính $a+b$.

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ, biết $f(x)$ đạt cực tiểu tại điểm $x=1$ và thỏa mãn $[f(x)+1]$ và $[f(x)-1]$ lần lượt chia hết cho $(x-1{)}^2$ và $(x+1{)}^2$. Gọi $S_1,S_2$ lần lượt là diện tích như trong hình bên. Tính $2S_2+8S_1$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1;4]$, đồng biến trên đoạn $[1;4]$ và thỏa mãn đẳng thức $x+2x\cdot f(x)=[f^{\prime }(x){]}^2,\forall x\in [1;4]$. Biết rằng $f(1)=\frac{3}{2}$, tính $I={\int }_1^{4}f(x)dx$.