Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ, biết $f(x)$ đạt cực tiểu tại điểm $x=1$ và thỏa mãn $[f(x)+1]$ và $[f(x)-1]$ lần lượt chia hết cho $(x-1{)}^2$ và $(x+1{)}^2$. Gọi $S_1,S_2$ lần lượt là diện tích như trong hình bên. Tính $2S_2+8S_1$.

Biết ${\int }_0^{2}f(x)dx=2$, ${\int }_0^{2}g(x)dx=3$. Khi đó tích phân ${\int }_0^2[f(x)+2g(x)]dx$ bằng

Tích phân ${\int }_0^1{x}^{2}dx$ bằng

Nếu ${\int }_0^{3}f(x)dx=6$ thì ${\int }_0^3\left[\frac{1}{3}f(x)+2\right]dx$ bằng

Biết ${\int }_0^{2}f(2x)dx=6$. Khi đó tích phân ${\int }_0^{4}f(x)dx$ bằng

Biết ${\int }_1^e\frac{(x+1)\ln x+2}{1+x\ln x}dx=ae+b\ln (e+1)+c$ trong đó $a,b,c$ là các số nguyên. Tỉ số $\frac{2a+c}{b}$ bằng

Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx-6$ và $g(x)=m{x}^2+nx$ có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên (phần gạch chéo trong hình) bằng?