Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1;4]$, đồng biến trên đoạn $[1;4]$ và thỏa mãn đẳng thức $x+2x\cdot f(x)=[f^{\prime }(x){]}^2,\forall x\in [1;4]$. Biết rằng $f(1)=\frac{3}{2}$, tính $I={\int }_1^{4}f(x)dx$.

Câu 8. Biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x$ trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $F(0)=6$. Phát biểu nào dưới đây đúng?

Câu 2. Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm $500$ vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Sau $1$ ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành $600$ vi khuẩn. Gọi $P(t)$ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo ngày ($0\le t\le 17$). Biết tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó là đạo hàm $P^{\prime }(t)=k\sqrt{t}$, trong đó $k$ là hằng số.

Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=2x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ thỏa mãn $F\left(\frac{\pi }{4}\right)=-1$ là

Một bể chứa dầu ban đầu có $50000$ lít dầu. Gọi $V(t)$ là thể tích dầu (lít) trong bể tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo giờ $0\le t\le 24$. Trong quá trình bơm dầu vào bể, thể tích dầu tăng theo tốc độ được biểu diễn bởi hàm số $V^{\prime }(t)=k\sqrt{t}$, với $k$ là hằng số dương. Sau $4$ giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt $58000$ lít.

Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=x+\sin x$ thỏa mãn $F(0)=19$ là:

Biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$ và $F(1)=1$. Khi đó $F(3)$ bằng bao nhiêu?