Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=27$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A(0;0;-4)$, $B(2;0;0)$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ sao cho khối nón có đỉnh là tâm của $(S)$, đáy là hình tròn $(C)$ có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình dạng $ax+by-z+c=0$, khi đó $a-2b+3c$ bằng

Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao $80\text{ m}$ sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi $500\text{ km}$ được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ hướng về phía Tây, trục $Oy$ hướng về phía Nam, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên phía trên (đơn vị độ dài trên mỗi trục là kilômét). Một máy bay đang ở vị trí $A(400;300;10)$, chuyển động theo đường thẳng đến vị trí $D(-450;-250;10)$.

Cho mặt cầu có bán kính $R=2$. Diện tích của mặt cầu đã cho bằng

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: $x^2+y^2+z^2-2x-4y+4z-7=0$. Xác định tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ đi qua hai điểm $A(1;1;2)$, $B(3;0;1)$ và có tâm thuộc trục $Ox$. Phương trình của mặt cầu $(S)$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha ):x-y-4z-3=0$. Bán kính mặt cầu $(S)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+2=0$. Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của $(S)$ là