Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  5i  3 . Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất
thì phần ảo bằng bao nhiêu?

Cho $z_1,z_2$ là hai trong các số phức thỏa mãn $|z-3+3i|=2$ và $|z_1-z_2|=4$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $|z_1+z_2|$ bằng

Với hai số phức $z_1,z_2$ thay đổi thỏa mãn $|z_1+1-2i|=|z_1-5+2i|$ và $|z_2+3-2i|=2$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z_1+3+i|+|z_1-z_2|$ bằng

Lúc $7h00^{\prime }$ sáng ngày 11/12/2025, có hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một vị trí trên mặt đất. Đến $8h00^{\prime }$ sáng hôm đó, chiếc thứ nhất đang ở vị trí $A$ cách vị trí xuất phát $1km$ về phía Đông và $2km$ về phía Bắc, đồng thời cách mặt đất $0,5km$; chiếc thứ hai đang ở vị trí $B$ nằm cách vị trí xuất phát $1,5km$ về phía Tây và $1km$ về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0,7km$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại vị trí xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía Đông, trục $Oy$ hướng về phía Bắc và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên (tham khảo hình vẽ). Lấy đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $km$.
Từ $8h00^{\prime }$ sáng đến $8h20^{\prime }$ sáng hôm đó, khinh khí cầu thứ nhất đi thẳng đều theo hướng Đông với tốc độ $30km/h$ và độ cao không đổi để đến điểm $M$; khinh khí cầu thứ hai chuyển động thẳng đều đến điểm $N$ với tốc độ $45km/h$, biết vectơ $\overrightarrow{BN}$ cùng hướng với vectơ $\vec{u}=(2;2;1)$. Bỏ qua lực cản của gió, khoảng cách $MN$ bằng bao nhiêu ki-lô-mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao $80m$ sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi $500km$ được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên phía trên như hình vẽ sau (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét).

Một máy bay tại vị trí $A$ cách mặt đất $10km$, cách $300km$ về phía đông và $200km$ về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Trong không gian với hệ tọa độ cho trước (đơn vị đo lấy theo mét), một con ong bay từ điểm $A(2;4;1)$ với vận tốc và hướng không đổi đến điểm $B(10;12;5)$ trong 5 giây. Nếu con ong tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của con ong sau 3 giây tiếp theo đạt tại vị trí điểm $M(a;b;c)$. Tìm $5a-b-c$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Bắc $20(km)$ và về phía Tây $10(km)$, đồng thời cách mặt đất $0,7(km)$. Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Đông $30(km)$ và về phía Nam $25(km)$, đồng thời cách mặt đất $1(km)$. Xác định khoảng cách giữa hai chiếc máy bay.