Cho a , b là các số thực thay đổi thỏa mãn log a2 b2  20  6a  8b  4   1 và c, d là các số thực
c
dương thay đổi thỏa mãn c 2  c  log 2  7  2  2d 2  d  3  . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
d
2 2
 a  c  1   b  d  là
12 5  5 8 5 5

Gọi $T$ là tổng các nghiệm của phương trình ${\log }_{\frac{1}{3}}^{2}x-5{\log }_{3}x+6=0$. Tính $T$.

Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức $s(t)=s(0)\cdot 2^t$, trong đó $s(0)$ là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, $s(t)$ là số lượng vi khuẩn A có sau $t$ phút. Biết sau $3$ phút thì số lượng vi khuẩn A là $625$ nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là $10$ triệu con?

Cho ${\log }_{3}5=a$, ${\log }_{3}10=b$ và ${\log }_{\sqrt{3}}50=ma+nb$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Phương trình ${\log }_2(2x-3)={\log }_2(6-x)$ có nghiệm là

Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $5^{x-1}=2^{x^2-1}$. Tính $P=x_1+x_2$.

Biết $x_1,x_2(x_1>x_2)$ là hai nghiệm của phương trình ${\log }_3\left(\frac{x^2-2x+1}{3x}\right)+x^2+2=3x$ và $4x_1+2x_2=a+\sqrt{b}$, với $a,b$ là hai số nguyên dương. Tính $a+b$.