Phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M(2;4;5)$ và cắt ba tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại ba điểm $A,B,C$ sao cho thể tích tứ diện $OABC$ nhỏ nhất là $ax+by+cz-60=0$. Tính $a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;3;4)$. Gọi $A$, $B$, $C$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$. Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;-2;-1)$ và mặt phẳng $(\beta ):x-y+2z+5=0$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A$ và song song với $(\beta )$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-13;-9;3),B(2;0;0)$ và $C(1;1;-1)$. Xét các mặt phẳng $(P)$ đi qua $C$ sao cho $A$ và $B$ nằm cùng phía so với $(P)$. Khi $d(A,(P))+2d(B,(P))$ đạt giá trị lớn nhất thì $(P)$ có dạng $ax+by+cz-5=0$. Giá trị của $a+b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-1;2)$ và $B(3;3;0)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là

Hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có kích thước $AB=5,AD=4,A{A}^{\prime }=8$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ trùng với điểm $A$; các tia $AD,AB,A{A}^{\prime }$ lần lượt trùng với các tia $Ox,Oy,Oz$ (tham khảo hình vẽ).

Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng, Nam và An đang tập chuyền bóng cho nhau, Nam ném bóng cho An đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Nam và rơi xuống vị trí cách An $0,5\text{m}$ và cách Nam $4,5\text{m}$ được mô tả bằng hình vẽ bên dưới:

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(\alpha ):ax+y+cz+d=0$ và vuông góc với mặt đất. Giá trị của $a^2+c^2+d^2$ bằng bao nhiêu?