Cho hai số phức $z,w$ thỏa mãn $|z|=2$ và $|w-2+4i|=1$. Giá trị nhỏ nhất của $|z^2-2wz-4|$ bằng

Chọn D.
Vì $|z|=2$ nên $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=4$.
Khi đó:
$$T=|z^2-2wz-4|=|z^2-2wz-z\bar{z}|=|z|\cdot |z-\bar{z}-2w|=2|z-\bar{z}-2w|.$$
Đặt $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$. Vì $|z|=2⟹x^2+y^2=4⟹y\in [-2;2]$.
Ta có $z-\bar{z}=2yi$.
Do đó:
$$T=2|2yi-2w|=4|w-yi|=4|(w-2+4i)+(2-(y+4)i)|.$$
Áp dụng bất đẳng thức tam giác $|u+v|\ge ||v|-|u||$:
$$|w-yi|\ge |2-(y+4)i|-|w-2+4i|=\sqrt{2^2+(y+4{)}^2}-1=\sqrt{4+(y+4{)}^2}-1.$$
Vì $-2\le y\le 2$ nên $2\le y+4\le 6⟹(y+4{)}^2\ge 4$.
Do đó $\sqrt{4+(y+4{)}^2}\ge \sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$.
Suy ra:
$$T\ge 4(2\sqrt{2}-1)=8\sqrt{2}-4.$$
Vậy giá trị nhỏ nhất là $8\sqrt{2}-4$.