Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $AB=a\sqrt{2},SA=a\sqrt{3},BC=a$.

a) Chứng minh $CD\perp (SAD)$.

b) Chứng minh $\Delta SBC$ là tam giác vuông.

c) Xác định và tính góc giữa $SC$ và $AB$.

d) Gọi $E$ là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh $BD\perp SE$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 8: Hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD), AB = a√2, SA = a√3, BC = a (nên AD = BC = a).

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD ⊥ AD. Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD. CD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AD và SA thuộc mặt phẳng (SAD), do đó CD ⊥ (SAD).

b) Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BC. Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC ⊥ AB, mà BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB), suy ra BC ⊥ SB. Vậy tam giác SBC vuông tại B.

c) Vì AB ∥ CD nên góc giữa SC và AB bằng góc giữa SC và CD, tức là góc SCD (tam giác SCD vuông tại D vì CD ⊥ (SAD) nên CD ⊥ SD).
Tính: AC² = AB² + BC² = 2a² + a² = 3a²; SC² = SA² + AC² = 3a² + 3a² = 6a² ⇒ SC = a√6. CD = AB = a√2.
Trong tam giác SCD vuông tại D: cos(SCD) = CD/SC = (a√2)/(a√6) = 1/√3 = √3/3.
Vậy góc giữa SC và AB bằng arccos(√3/3) ≈ 54°44′.

d) E là trung điểm CD. Ta có AE·BD với hệ tọa độ A(0;0;0), B(a√2;0;0), C(a√2;a;0), D(0;a;0), S(0;0;a√3), E(a√2/2; a; 0): AE = (a√2/2; a; 0), BD = (−a√2; a; 0), AE·BD = −a² + a² = 0 nên AE ⊥ BD.
Mặt khác SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BD. BD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SA và AE trong mặt phẳng (SAE), do đó BD ⊥ (SAE). Mà SE ⊂ (SAE), vậy BD ⊥ SE. Đpcm.