Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ tâm $O$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a\sqrt{6}$. $AM,AN$ là các đường cao của tam giác $SAB$ và $SAD$;

a) Chứng minh rằng các mặt bên của chóp là các tam giác vuông. Tính tổng diện tích các tam giác đó.

b) Gọi $P$ là trung điểm của $SC$. Chứng minh rằng $OP\perp (ABCD)$.

c) Chứng minh: $BD\perp (SAC),MN\perp (SAC)$.

d) Chứng minh: $AN\perp (SCD);AM\perp SC$

e) $SC\perp (AMN)$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6: Chóp S.ABCD, đáy hình vuông cạnh a tâm O, SA⊥(ABCD), SA=a√6.

a) Vì SA⊥(ABCD) nên SA⊥AB và SA⊥AD ⇒ ΔSAB vuông tại A, ΔSAD vuông tại A. Vì AB⊥AD và AB⊥SA ⇒ AB⊥(SAD) ⇒ AB⊥SD, kết hợp BC∥AD ⇒ BC⊥(SAD)... chính xác hơn: CD⊥AD và CD⊥SA ⇒ CD⊥(SAD) ⇒ CD⊥SD ⇒ ΔSCD vuông tại D; tương tự BC⊥(SAB) ⇒ BC⊥SB ⇒ ΔSBC vuông tại B.
Tính toán: SB=SD=√(SA²+a²)=√(6a²+a²)=a√7; SC=√(SB²+BC²)=√(7a²+a²)=2a√2.
Diện tích: S_{SAB}=S_{SAD}=½·a·a√6=(a²√6)/2; S_{SBC}=S_{SCD}=½·a·a√7=(a²√7)/2.
Tổng diện tích các mặt bên = a²(√6+√7).

b) P là trung điểm SC. ΔSAC vuông tại A (SA⊥AC) nên PA=PS=PC; ΔSCD vuông tại D nên PD=PS=PC. Suy ra PA=PD ⇒ ΔPAD cân tại P, mà O là trung điểm AD ⇒ PO⊥AD. Cũng có PA=PC ⇒ ΔPAC cân tại P, O là trung điểm AC ⇒ PO⊥AC. PO⊥AD, PO⊥AC với AC, AD cắt nhau trong (ABCD) ⇒ OP⊥(ABCD). (đpcm)

c) • BD⊥(SAC): AC⊥BD (hai đường chéo hình vuông) và SA⊥BD (SA⊥đáy) ⇒ BD⊥(SAC).
• MN⊥(SAC): Trong (SAB) có AM⊥SB; lại AD⊥(SAB) ⇒ AD⊥AM ⇒ AM⊥(SBD) ⇒ AM⊥BD. Tương tự AN⊥(SBD) ⇒ AN⊥BD. Suy ra BD⊥(AMN), mà MN⊂(AMN) ⇒ BD⊥MN. Mặt khác AC⊥(SBD) (do AC⊥BD, AC⊥SA) ⇒ AC⊥MN. MN vuông góc với SA (vì SA⊥AM, SA⊥AN ⇒ SA⊥(AMN)) và MN⊥AC, hai đường SA, AC cắt nhau trong (SAC) ⇒ MN⊥(SAC). (đpcm)

d) • AN⊥(SCD): AN⊥SD (AN là đường cao ΔSAD) và CD⊥(SAD) ⇒ CD⊥AN; SD, CD cắt nhau trong (SCD) ⇒ AN⊥(SCD).
• AM⊥SC: AM⊥SB và BC⊥(SAB) ⇒ BC⊥AM; SB, BC cắt nhau trong (SBC) ⇒ AM⊥(SBC) ⇒ AM⊥SC. (đpcm)

e) Từ d): SC⊥AM và SC⊥AN, với AM, AN cắt nhau trong (AMN) ⇒ SC⊥(AMN). (đpcm)

Kiểm tra: SB=SD=a√7, SC=2a√2, tổng diện tích mặt bên a²(√6+√7) — tất cả đều nhất quán.