Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$. Biết $SB=a\sqrt{3},AB=a$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: $B(0,0,0)$, $A(a,0,0)$, $C(0,a,0)$, $S(a,0,a\sqrt{2})$ (vì $SA\perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $BC=a$).
a) $SA=\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{3a^2-a^2}=a\sqrt{2}$ → Đúng.
b) Góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc $SBA$: $\tan =\frac{SA}{AB}=\sqrt{2}$ → Đúng.
c) Mặt phẳng $(SAC)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AS}\times \overrightarrow{AC}=(-a^2\sqrt{2},-a^2\sqrt{2},0)$, rút gọn $\vec{n}=(-1,-1,0)$. $\overrightarrow{SB}=(-a,0,-a\sqrt{2})$, $|\overrightarrow{SB}|=a\sqrt{3}$. $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{SB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{SB}||\vec{n}|}=\frac{a}{a\sqrt{3}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\approx 0,408\ne \frac{\sqrt{6}}{8}$ → Sai.
d) Vì $AB\perp BC$ và $SB\perp BC$ (do $SA\perp (ABC)$), góc nhị diện $[S,BC,A]$ là góc $SBA$: $\tan =\sqrt{2}\Rightarrow \arctan \sqrt{2}\approx 54,74^{\circ }$ → Đúng.
Kết quả Đ-Đ-S-Đ khớp với đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA=\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{3a^2-a^2}=a\sqrt{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là $\widehat{SBA}$, $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính toán cho $\sin \theta =\frac{\sqrt{6}}{6}$, không bằng $\frac{\sqrt{6}}{8}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện $[S,BC,A]$ là góc $SBA=\arctan \sqrt{2}\approx 54,74^{\circ }$.