Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+4x+7}{x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(x)=\frac{x^2+4x+7}{x+1}=x+3+\frac{4}{x+1}$ (tính chia đa thức). TXĐ: $x\ne -1$.

a) $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Trên nhánh $x>-1$, $f$ đạt cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=\frac{1+4+7}{2}=6\ne -2$ (trên nhánh $x<-1$, $f(-3)=2$ là cực đại). Vậy giá trị cực tiểu là $6$, mệnh đề Sai.

b) Tiếp tuyến song song với $3x+y-6=0$ có hệ số góc $-3$: $1-\frac{4}{(x+1{)}^2}=-3\iff (x+1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=-2$.
- Tại $x=0$: $f(0)=7$, tiếp tuyến $y=-3x+7$; tại $x=-\frac{3}{2}$ cho $y=11.5\ne \frac{3}{2}$.
- Tại $x=-2$: $f(-2)=\frac{4-8+7}{-1}=-3$, tiếp tuyến $y=-3-3(x+2)=-3x-9$; tại $x=-\frac{3}{2}$ cho $y=-\frac{9}{2}\ne \frac{3}{2}$.
Hơn nữa $B\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$ không thuộc đồ thị vì $f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{13}{2}$. Vậy mệnh đề Sai.

c) $f^{\prime }(x)<0\iff (x+1{)}^2<4\iff -3<x<1,x\ne -1$. Vậy hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-3;-1)$ và $(-1;1)$. Mệnh đề Đúng.

d) $x=-1$ là tiệm cận đứng (sample điểm $f\to \pm \infty$); từ $f(x)=x+3+\frac{4}{x+1}$, khi $x\to \pm \infty$, $\frac{4}{x+1}\to 0$ nên tiệm cận xiên $y=x+3$. Mệnh đề Đúng.

Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cực tiểu tại $x=1$ có giá trị $f(1)=6\ne -2$ (cực đại tại $x=-3$ là $f(-3)=2$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến hệ số góc $-3$ tại $x=0$: $y=-3x+7$; tại $x=-2$: $y=-3x-9$; không tiếp tuyến nào đi qua $B\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$, và $B$ không thuộc đồ thị vì $f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{13}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}<0$ khi $-3<x<1$, $x\ne -1$, tức nghịch biến trên từng khoảng $(-3;-1)$ và $(-1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ $x=-1$; do $f(x)=x+3+\frac{4}{x+1}$ nên TCX $y=x+3$.