Một vận động viên thể thao hai môn phối hợp luyện tập với một bể bơi hình chữ nhật rộng $400m$, dài $800m$.



Vận động viên chạy phối hợp với bơi như sau: Xuất phát từ điểm $A$, chạy đến điểm $X$ và bơi từ điểm $X$ đến điểm $C$ (Hình vẽ). Hỏi nên chọn điểm $X$ cách $A$ bằng bao nhiêu mét để vận động viên đến $C$ nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng vận tốc chạy là 30 km/h, vận tốc bơi là 6 km/h.

Trong công viên có một hồ nước hình bán nguyệt với đường kính $PR=3$ km. Từ vị trí điểm $P$ anh Minh chèo một chiếc thuyền với vận tốc 3 km/h thẳng đến vị trí điểm $Q$ trên bờ hồ, rồi đi bộ theo bờ hồ đến vị trí điểm $R$ với vận tốc 6 km/h (hình vẽ). Thời gian tối đa để anh Minh di chuyển từ $P$ đến $R$ theo cách đó là bao nhiêu giờ (giả sử thời gian đổi thuyền là không đáng kể và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Một nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B, nhà máy A chỉ bán sản phẩm cho nhà máy B và nhà máy B cam kết thu mua hết số sản phẩm mà nhà máy A sản xuất được. Nhà máy A có khả năng sản xuất được tối đa 200 tấn sản phẩm trong 1 tháng. Nếu bán ra $x$ tấn sản phẩm cho nhà máy B thì giá bán mỗi tấn sản phẩm là $50-0,0002x^2$ triệu đồng. Mỗi tháng nhà máy A phải trả chi phí cho nhân công và khấu hao máy móc một lượng cố định là 150 triệu đồng, ngoài ra chi phí mua nguyên liệu để sản xuất một tấn sản phẩm là 35 triệu đồng. Giả sử nhà máy A phải nộp $6\%$ doanh thu cho cơ quan thuế. Lợi nhuận sau thuế lớn nhất thu được trong 1 tháng của nhà máy A là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, lợi nhuận sau thuế là lợi nhuận sau khi trừ tiền thuế)?

Xưởng gốm XYZ chuyên sản xuất chậu bonsai nghệ thuật. Mỗi ngày, xưởng có thể sản xuất tối đa 150 chiếc chậu. Nếu xưởng sản xuất $x$ chiếc chậu $\left(x\in {\mathbb{N}}^{\ast },x\le 150\right)$ và bán hết thì tổng doanh thu là $T(x)=-0,5x^2+265x$ (nghìn đồng). Chi phí mua nguyên vật liệu thô để sản xuất $x$ chiếc chậu (chưa chiết khấu) là $A(x)=75x+250+\frac{12000}{x}$ (nghìn đồng). Chính sách chiết khấu mua nguyên vật liệu: nếu mua nguyên vật liệu cho từ 80 chiếc chậu trở lên thì giảm giá 15\% trên tổng chi phí $A(x)$, mua ít hơn thì không được giảm giá. Chi phí bán hàng và marketing là $B(x)=0,1x^2+3x+220$ (nghìn đồng). Chi phí nhân công và vận hành xưởng là $C(x)=0,2x^2+5x+630$ (nghìn đồng). Thuế thu nhập doanh nghiệp là 5\% trên lợi nhuận trước thuế. Hỏi lợi nhuận sau thuế lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị triệu đồng)?

Ông Thanh nuôi cá chim ở một cái ao có diện tích là $50m^2$. Vụ trước ông nuôi với mật độ là 20 con/$m^2$ và thu được 1,5 tấn cá. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình thi cứ thả giảm đi 8 con/$m^2$ thì mỗi con cá khi thu hoạch tăng lên 0,5 kg? Giả sử không có hao hụt khi nuôi.

Từ một tấm bìa mỏng hình lục giác đều cạnh $6dm$, bạn Phương cắt bỏ sáu tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình lục giác đều ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình lục giác đều nhỏ phía trong rồi gấp lên, ghép lại tạo thành một khối chóp lục giác đều (Hình vẽ bên).



Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối ? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí $A$ tới điểm $B$ về phía hạ lưu bờ đối diện trên một bờ sông thẳng rộng 3 km (như hình vẽ). Anh chèo thuyền đến một điểm $D$ giữa $C$ và $B$ và sau đó chạy đến $B$. Biết anh ấy có thể chèo thuyền 6 km/h, chạy 8 km/h và quãng đường $BC=8$ km. Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến $B$ là $a+\frac{b}{c}\sqrt{d}$ trong đó $a,b,c,d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản và $d$ là số nguyên tố. Giá trị của $a+b+c+d$ bằng bao nhiêu?