Cho hàm số $y=12x^5-(15m+30)x^4+20x^3-30(m^2-4m+3)x^2+120(m^2+1)x+2023+m$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(1;3)$?

**Chọn C**

(

)

(

)

Đặt f ( x ) = 12x - (15m + 30) x + 20x - 30 m - 4m + 3 x +120 m +1 x + 2023 + m .
5

4

3

2

2

2

f ' ( x ) = 60x4 - 60 ( m + 2) x3 + 60x2 - 60 ( m2 - 4m + 3) x +120 ( m2 +1)

[x = 2
f '( x) = 0 ⇔ 3
2
2
] x - mx + ( -2m + 1) x - m - 1 = 0.

(1)

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên (1;3) suy ra y = f ( x ) đồng biến trên (1;3) hoặc nghịch
biến trên khoảng (1;3)

⇒ x = 2 không là cực trị của hàm số f ( x )
⇒ x = 2 là nghiệm của phương trình (1 ) .

*Điều kiện cần: x = 2 là nghiệm của phương trình (1 )

[m = 1
8 - 4m - 4m + 2 - m 2 - 1 = 0 ⇔ -m 2 - 8m + 9 = 0 ⇔
] m = -9.
*Điều kiện đủ:
f ' ( x ) = 60 ( x - 2 )2 ( x 2 + x + 1) ≥ 0, ∀ x ∈ (1; 3 )

Với m = 1 . Khi đó

f (1) = 2251 > 0

suy ra hàm số y = f ( x )

đồng biến trên (1;3) .
f ' ( x ) = 60 ( x - 2 )2 ( x 2 + 11x + 41) ≥ 0, ∀ x ∈ (1; 3 )

Vớ m = - 9 . Khi đó

f (1) = 8391 > 0

suy ra hàm số

y = f ( x ) đồng biến trên (1;3) .
Vây m = 1; m = -9 nên có 2 giá trị nguyên thoả mãn.