Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho Parabol $(P):y=x^2$ và hai điểm $A,B$ thuộc $(P)$ sao cho $AB=2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và đường thẳng $AB$ đạt giá trị lớn nhất bằng

**Chọn D**

Gọi A ( a; a 2 ) , B ( b; b 2 ) với a < b . Ta có AB = 2 ⇔ (b - a ) 2 + ( b 2 - a 2 ) = 4
2

AB :

x - a y - a2
x - a y - a2
= 2
⇔
=
⇔ y = (a + b)( x - a ) + a 2 ⇔ y = (a + b) x - ab
b - a b - a2
1
b+a
b

(

)

b

S = ∫ (a + b) x - ab - x 2 dx = ∫ ( x - a )(b - x)dx
a

Đặt t = x - a. S = ∫

b-a

0

(

a

t (b - a - t )dt = ∫

Ta có (b - a ) 2 + b 2 - a 2

b-a

0

(

)

b-a

(b - a )3
=
.
6

) = 4 ⇔ (b - a) (1 + (b + a) ) = 4 ⇔ (b - a) = 1 + (b4+ a) ≤ 4.
2

2

2

(b - a )3 23 4
≤
= .
6
6 3
a + b = 0
b = 1
⇔
⇔ A(-1;1), B(1;1) .
Dấu bằng xảy ra khi
a = -1
b - a = 2

Suy ra b - a ≤ 2 ⇒ S =

b-a

(b - a )t 2
t3
t (b - a ) - t dt =
-
2
30
0
2

2

2