Cho hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $[1;3]$ và $f(x)\ne 0,\forall x\in [1;3]$, đồng thời $f^{\prime }(x)\cdot (1+f(x){)}^2=[f^2(x)(x-1){]}^2$ và $f(1)=-1$. Biết rằng ${\int }_2^{3}f(x)dx=a\ln 3+b\ln 2$ ($a,b\in \mathbb{Z}$). Tính tổng $S=a^2+b^2$.

Biết ${\int }_1^3\frac{x+2}{x}dx=a+b\ln c$ với $a,b,c\in \mathbb{Z},c<9$. Tính tổng $S=a+b+c$.

Gọi $(H)$ là phần gạch chéo trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=3x^2$, $y=4-x$ và trục hoành. Diện tích của $(H)$ bằng bao nhiêu?

Trong một cuộc thi sáng tạo các chủ đề liên quan đến Kỷ niệm 50 năm ngày miền Nam hoàn toàn giải phóng, tại hệ thống trường Nguyễn Khuyến-Lê Thánh Tông, một em học sinh đến từ lớp 12B1 đã đạt giải đặc biệt với một thiết kế vô cùng độc đáo. Em học sinh này đã thiết kế bề mặt của một chiếc đồng hồ treo tường bằng sự kết hợp giữa lịch sử, mỹ thuật và toán học:
- Phần trong của mặt đồng hồ là hình vuông có cạnh bằng $2\text{ dm}$, nơi đây lưu giữ hình ảnh của chiếc xe tăng 390 của bộ đội Việt Nam tiến vào dinh độc lập.
- Phần ngoài của mặt đồng hồ là đường tròn có bán kính bằng $2\text{ dm}$.
- Đường cong trung gian có tên (L) là tập hợp tất cả điểm P sao cho nếu kẻ tia Ot bất kỳ cắt hình vuông và đường tròn lần lượt tại M, N thì P là trung điểm MN (O là tâm đường tròn). Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (L) theo đơn vị dm${}^2$ và làm tròn đến hàng phần trăm.

Cho ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$ và ${\int }_0^{1}g(x)dx=5$, khi đó ${\int }_0^1[f(x)-2g(x)]dx$ bằng

Biết ${\int }_1^{2}f(x)dx=2$. Giá trị của ${\int }_1^2[f(x)+2x]dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\int }_0^{6}f(x)dx=7,{\int }_0^{10}f(x)dx=-1$. Tính $I={\int }_6^{10}f(x)dx$.