Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f^{\prime }(x)=(x-1)(x+3)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-10;20]$ để hàm số $y=f(x^2+3x-m)$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$?

Ta có $y^{\prime }=(2x+3)f^{\prime }(x^2+3x-m)$.
Với mọi $x\in (0;2)$ thì $2x+3>0$, nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$ khi và chỉ khi:
$f^{\prime }(x^2+3x-m)\ge 0,\forall x\in (0;2)$.
Vì $f^{\prime }(t)=(t-1)(t+3)\ge 0\iff t\le -3$ hoặc $t\ge 1$.
Do đó ta có hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $x^2+3x-m\le -3,\forall x\in (0;2)\iff m\ge x^2+3x+3,\forall x\in (0;2)$.
Vì hàm số $g(x)=x^2+3x+3$ đồng biến trên $[0;2]$ nên ${\max }_{[0;2]}g(x)=g(2)=13$, suy ra $m\ge 13$.
- Trường hợp 2: $x^2+3x-m\ge 1,\forall x\in (0;2)\iff m\le x^2+3x-1,\forall x\in (0;2)$.
Vì hàm số $h(x)=x^2+3x-1$ đồng biến trên $[0;2]$ nên ${\min }_{[0;2]}h(x)=h(0)=-1$, suy ra $m\le -1$.
Kết hợp điều kiện $m\in [-10;20]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in [-10;-1]\cup [13;20]$.
Số giá trị nguyên của $m$ là $10+8=18$.