Cho $x,y$ là các số thực lớn hơn 1 sao cho $y^x\cdot (e^x{)}^{e^y}\ge x^y\cdot (e^y{)}^{e^x}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={\log }_x\sqrt{xy}+{\log }_{y}x$.

Lấy logarit tự nhiên hai vế của bất đẳng thức:
$\ln [y^x\cdot e^{x{e}^y}]\ge \ln [x^y\cdot e^{y{e}^x}]\iff x\ln y+x{e}^y\ge y\ln x+y{e}^x\iff \frac{\ln y+e^y}{y}\ge \frac{\ln x+e^x}{x}$.
Xét hàm số $f(t)=\frac{\ln t+e^t}{t}$ với $t>1$. Khảo sát ta thấy $f(t)$ là hàm đồng biến, do đó $y\ge x>1$.
Đặt $t={\log }_{x}y\ge 1$.
Biểu thức $P=\frac{1}{2}(1+{\log }_{x}y)+\frac{1}{{\log }_{x}y}=\frac{1}{2}+\frac{t}{2}+\frac{1}{t}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc xét hàm với $t\ge 1$, ta có:
$\frac{t}{2}+\frac{1}{t}\ge 2\sqrt{\frac{t}{2}\cdot \frac{1}{t}}=\sqrt{2}$, đạt được khi $t=\sqrt{2}>1$.
Do đó $P_{\min }=\frac{1}{2}+\sqrt{2}=\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$.