Tính diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường cong $y=-x^3+12x$ và $y=-x^2$.

Câu 6. Mẫu gạch lát nền nhà được thiết kế có dạng hình vuông cạnh $4\text{ dm}$, bốn góc viên gạch màu trắng, phần ở giữa sẫm màu (hình bên). Đường viền của phần sẫm màu bao gồm bốn đoạn thẳng nằm trên các cạnh hình vuông và bốn đường cong có tính chất: tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường cong đó đến hai trục đối xứng của viên gạch bằng $2{\text{ dm}}^2$. Tính diện tích phần sẫm màu (đơn vị: decimét vuông) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx-5$ và $g(x)=d{x}^2+ex+1$ ($a,b,c,d,e\in \mathbb{R}$). Biết rằng đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là $-3,-1,1$ (tham khảo hình vẽ):


Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho (miền gạch chéo) có diện tích bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=x^2$ và $y=8-x^2$ là

Câu 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2+2,y=x,x=0,x=2$.

Câu 3. Một nhà thiết kế tạo hoa văn trên tấm gạch bông hình lục giác đều $ABCDEG$ tâm $O$, cạnh $12\text{ cm}$. Bông hoa gồm $6$ cánh như hình vẽ. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$, trong đó tia $Ox$ đi qua $A$, tia $Oy$ đi qua trung điểm của $BC$, đơn vị trên mỗi trục là $1\text{ cm}$. Ban đầu, nhà thiết kế vẽ cung parabol $(P)$ có đỉnh $O$, trục đối xứng là $Oy$, đi qua hai điểm $B,C$. Sau đó lần lượt quay $(P)$ quanh tâm $O$ các góc $60^{\circ },120^{\circ },180^{\circ },240^{\circ },300^{\circ }$ để được bông hoa $6$ cánh.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f^{\prime }(x)+4x-6x\cdot e^{x^2-f(x)-1}=0,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(0)=-1$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)$ bằng