Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+2x$ và $g(x)=m{x}^3+n{x}^2-x$; với $a,b,c,m,n\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $y=f(x)-g(x)$ có 3 điểm cực trị là $-1,2,3$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f^{\prime }(x)$ và $y=g^{\prime }(x)$ bằng:

Đặt $h(x)=f(x)-g(x)$. Hàm số $h(x)$ có 3 điểm cực trị là $-1,2,3$ nên phương trình $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)=0$ có 3 nghiệm là $-1,2,3$. Mặt khác $h^{\prime }(x)=4a{x}^3+3(b-m)x^2+2(c-n)x+3$. Do đó $h^{\prime }(x)=4a(x+1)(x-2)(x-3)$. Khai triển hệ số tự do của $h^{\prime }(x)$ là $4a(1)(-2)(-3)=24a$. Theo biểu thức đạo hàm, hệ số tự do là $2-(-1)=3$. Suy ra $24a=3\iff 4a=\frac{1}{2}$. Khi đó $f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(x+1)(x-2)(x-3)$. Diện tích hình phẳng cần tính là $S={\int }_{-1}^3|f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)|dx=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^2(x+1)(x-2)(x-3)dx-\frac{1}{2}{\int }_2^3(x+1)(x-2)(x-3)dx=\frac{45}{8}-\left(-\frac{7}{8}\right)?\text{Tıˊnh cụ thể: }S=\frac{16}{3}$. Chọn B.