Câu 8: Cho hàm bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.



Hỏi đồ thị hàm số $y=\frac{(x^2+4x+3)\sqrt{x^2+x}}{x[f^2(x)-2f(x)]}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Điều kiện xác định của tử số: $x^2+x\ge 0\iff x\le -1$ hoặc $x\ge 0$. Tử số bằng $0$ tại $x=-3$ (bội $1$), $x=-1$ (bội $\frac{3}{2}$), $x=0$ (bội $\frac{1}{2}$). Mẫu số $xf(x)[f(x)-2]=0$: tại $x=0$ (bội $1>\frac{1}{2}$ nên $x=0$ là TCĐ); $f(x)=0$ có nghiệm kép $x=-3$ (bội $2>1$ nên $x=-3$ là TCĐ) và $1$ nghiệm đơn $x_1\in (-1;0)$ (loại vì ngoài TXĐ); $f(x)=2$ có $1$ nghiệm $x=-1$ (bội $1<\frac{3}{2}$, không là TCĐ), $1$ nghiệm $x_2<-3$ (là TCĐ) và $1$ nghiệm $x_3\in (-3;-1)$ (là TCĐ). Tổng cộng có $4$ đường tiệm cận đứng.