Câu 2. (1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.

a) Chứng minh rằng $CD\perp (SAD)$.

b) Cho $AD=a$, $AB=a\sqrt{3}$, $SA=a\sqrt{2}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$.

a) (0,5 điểm) Chứng minh rằng $CD\perp (SAD)$.

Ta có $SA\perp (ABCD)$, $CD\subset (ABCD)\Rightarrow SA\perp CD$ (0,25 điểm)

Mặt khác, $CD\perp AD$, $SA\cap AD=\{A\}$ $\Rightarrow CD\perp (SAD)$. (0,25 điểm)

b) (0,5 điểm) Cho $AD=a$, $AB=a\sqrt{3}$, $SA=a\sqrt{2}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$.

Từ $CD\perp (SAD)$ $\Rightarrow$ hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $(SAD)$ là $SD$ $\Rightarrow$ góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$ là góc $(SC,SD)=\widehat{CSD}$ (0,25 điểm)

Xét tam giác $SAD$ vuông tại A, có: $S{D}^2=S{A}^2+A{D}^2=2a^2+a^2=3a^2$ $\Rightarrow SD=a\sqrt{3}$, mà $CD=AB=a\sqrt{3}$ $\Rightarrow$ tam giác $SCD$ vuông cân tại D $\Rightarrow \widehat{CSD}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$ bằng $45^{\circ }$. (0,25 điểm)