Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a\sqrt{2}$, $AC=a\sqrt{3}$. Cạnh bên $SA=2a$ và vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AC=a\sqrt{3}$, $AB=a\sqrt{2}$ nên $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=a$. Cạnh $SA=2a\perp (ABCD)$.

a) Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}$: $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{2a}{a\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow \widehat{SBA}\approx 54,7356^{\circ }\approx 54,75^{\circ }$. Đúng.

b) $BC\perp AB$ (hình chữ nhật) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp$ đáy) $\Rightarrow BC\perp (SAB)\Rightarrow (SBC)\perp (SAB)$. Đúng.

c) Vì $BC\perp (SAB)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$ tại giao tuyến $SB$, do đó $d(D,(SBC))=d(A,(SBC))=d(A,SB)$ trong mặt $(SAB)$: $d=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{2a\cdot a\sqrt{2}}{\sqrt{4a^2+2a^2}}=\frac{2a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Sai.

d) $V=\frac{1}{3}\cdot AB\cdot BC\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot 2a=\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{3}\ne \frac{\sqrt{2}{a}^3}{3}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\sqrt{2}\Rightarrow \widehat{SBA}\approx 54,75^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp (SAB)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(D,(SBC))=d(A,SB)=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot 2a=\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{3}\ne \frac{\sqrt{2}{a}^3}{3}$.