Câu 2 (1 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB\parallel CD$ và $AB=3CD$. Gọi $H$ là điểm thuộc cạnh bên $SC$ sao cho $SH=\frac{3}{4}SC$.
a. Chứng minh $CD\parallel (SAB)$.
b. Tìm giao điểm $K$ của $SB$ và mặt phẳng $(ADH)$. Tính tỉ số $\frac{SK}{SB}$.

Vẽ hình đúng đến câu a cho 0,25.

a. Ta có: $CD\parallel AB$ (gt)

Mà $CD\not\subset (SAB)$ và $AB\subset (SAB)$.

Suy ra $CD\parallel (SAB)$.

b. Trong mặt đáy $(ABCD)$, gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BC$.

Xét hai mặt phẳng $(ADH)$ và $(SBC)$ ta có:

$$\begin{array}{rl}I& \in AD\subset (ADH)\\ I& \in BC\subset (SBC)\end{array}\}\Rightarrow I\in (ADH)\cap (SBC).$$

Lại có: $H\in (ADH)\cap (SBC)$. Vậy $IH$ là giao tuyến của $(ADH)$ và $(SBC)$.

Trong mặt phẳng $(SBC)$, kéo dài $IH$ cắt $SB$ tại $K$.

Khi đó: $K\in IH\subset (ADH)$ và $I\in SB$.

Vậy $K$ là giao điểm của $SB$ và $(ADH)$.

Tính tỉ số $\frac{SK}{SB}$:

Trong mặt phẳng $(SBC)$ từ $C$ kẻ đường thẳng song song với $HK$ cắt $SB$ tại $N$.

Xét tam giác $SNC$ ta có $HK\parallel CN$ nên theo định lý Talet ta có: $\frac{SK}{KN}=\frac{SH}{HC}=3$. (1)

Xét tam giác $KBI$ ta có $IK\parallel CN$ nên tương tự ta có: $\frac{BK}{KN}=\frac{BI}{IC}$. (2)

Mặt khác, trong tam giác $AIB$ có $CD\parallel AB$ nên: $\frac{BI}{IC}=\frac{AB}{CD}=3$. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{SK}{KN}=\frac{BK}{KN}\Rightarrow SK=BK$.

Vậy $\frac{SK}{SB}=\frac{1}{2}$.