Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD$ và $BC$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

Nghiệm của phương trình $2\cos x=-\sqrt{2}$ là

Số nghiệm thuộc khoảng $(-\pi ;3\pi )$ của phương trình $\tan x=\sqrt{3}$ là

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $O^{\prime }$ là giao điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng nào sau đây?

Với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, dãy số nào sau đây là dãy số bị chặn?

Cho hàm số $y=\sin x+\sqrt{3}\cos x+1$. Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hình tứ diện $ABCD$. Lấy $E$, $F$, $G$ lần lượt là các điểm thuộc cạnh $AB$, $AC$, $BD$ sao cho $EF$ cắt $BC$ tại $I$ và $EG$ cắt $AD$ tại $J$. Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho $\tan x=2$. Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{\sin x-5\cos x}{\sin x+\cos x}$.

Biết $\cos x.\cos \left(60^{\circ }-x\right).\cos \left(60^{\circ }+x\right)=k.\cos 3x$ với $k\in \mathbb{R}$. Giá trị của $\sin \left(k\pi \right)$ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Bạn Bình định xếp một hình tháp bởi các mảnh ghép tam giác (xem hình vẽ minh họa). Tầng dưới cùng Bình xếp 35 hình và tầng tiếp theo ít hơn tầng dưới nó 2 hình. Bình xếp cho đến khi không xếp lên được nữa. Hỏi Bình cần bao nhiêu mảnh ghép hình tam giác để xếp xong tháp?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $SD$, $OC$. Mặt phẳng $(MNP)$ cắt $SA$ tại điểm $I$. Biết tỉ số $\frac{IS}{IA}=\frac{m}{n}$ với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $T=4m+11n+2025$.

Câu 1 (1 điểm). Giải phương trình: $\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$.

Câu 2 (1 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB\parallel CD$ và $AB=3CD$. Gọi $H$ là điểm thuộc cạnh bên $SC$ sao cho $SH=\frac{3}{4}SC$.
a. Chứng minh $CD\parallel (SAB)$.
b. Tìm giao điểm $K$ của $SB$ và mặt phẳng $(ADH)$. Tính tỉ số $\frac{SK}{SB}$.

Câu 3 (0,5 điểm). Giá của một chiếc máy photocopy lúc mới mua là 50 triệu đồng. Biết rằng giá trị của nó sau mỗi năm sử dụng bị hao mòn 10\% so với giá trị của năm liền trước đó. Tính giá trị còn lại của máy photocopy đó sau 8 năm kể từ khi mua (đơn vị triệu đồng và làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 4 (0,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện: $\cos A+\cos B+\cos C=\frac{3}{2}$. Chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác đều.