Câu 4 (0,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện: $\cos A+\cos B+\cos C=\frac{3}{2}$. Chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Áp dụng công thức lượng giác, ta có: $\cos A+\cos B+\cos C=\frac{3}{2}$ $\iff 2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+1-2{\sin }^2\frac{C}{2}=\frac{3}{2}$ $\iff 4{\sin }^2\frac{C}{2}-4\sin \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}+1=0$ $\iff \left[4{\sin }^2\frac{C}{2}-4\sin \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}+{\cos }^2\frac{A-B}{2}\right]+{\sin }^2\frac{A-B}{2}=0$ $\iff {\left[2\sin \frac{C}{2}-\cos \frac{A-B}{2}\right]}^2+{\sin }^2\frac{A-B}{2}=0$

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $2\sin \frac{C}{2}-\cos \frac{A-B}{2}=0$ và $\sin \frac{A-B}{2}=0$. Giải ra $A=B,C=\frac{\pi }{3}$. Vậy tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Ghi chú: Nếu học sinh giải theo cách khác so với hướng dẫn chấm mà đi đến kết quả đúng và cách giải hợp lý thì vẫn đạt điểm tối đa phần đó.