Cho tứ diện $ABCD$, gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $CD$, $P$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $AP=\frac{1}{4}AD$, mặt phẳng $(MNP)$ cắt $BD$ tại $I$. Biết tỉ số $\frac{IB}{ID}=\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b$?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ $\vec{A}=\vec{0}$, $\vec{B}=\vec{b}$, $\vec{C}=\vec{c}$, $\vec{D}=\vec{d}$. Khi đó $\vec{M}=\frac{\vec{b}}{2}$, $\vec{N}=\frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}$, $\vec{P}=\frac{\vec{d}}{4}$. Điểm $I$ trên đường thẳng $BD$: $\vec{I}=(1-t)\vec{b}+t\vec{d}$ với $t=\frac{BI}{BD}$. Vì $I\in (MNP)$ nên $\vec{I}=\vec{M}+\alpha (\vec{N}-\vec{M})+\beta (\vec{P}-\vec{M})$. So sánh hệ số theo $\vec{c}$: $\alpha =0$. Theo $\vec{d}$: $\frac{\beta }{4}=t\Rightarrow \beta =4t$. Theo $\vec{b}$: $\frac{1}{2}-\frac{\beta }{2}=1-t\Rightarrow \frac{1}{2}-2t=1-t\Rightarrow t=-\frac{1}{2}$. Vậy $I$ nằm ngoài đoạn $BD$, phía phía $B$: $\vec{I}=\frac{3}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{d}$. Suy ra $\overrightarrow{IB}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{d})$, $\overrightarrow{ID}=\frac{3}{2}(\vec{b}-\vec{d})$, do đó $\frac{IB}{ID}=\frac{1/2}{3/2}=\frac{1}{3}$. Vậy $a=1,b=3\Rightarrow a+b=4$, khớp đáp án nguồn (bảng đáp án Phần III, Mã đề 1102, Câu 2 = 4).