Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$ và $P$ là điểm trên $SO$ sao cho $SO=3SP$. Gọi $H$ là giao điểm của $SC$ với $(MNP)$. Biết tỉ số $\frac{SH}{SC}=\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a.b$?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục affine với đáy: $A=0$, $B=\mathbf{b}$, $D=\mathbf{d}$, $C=\mathbf{b}+\mathbf{d}$, $O=(\mathbf{b}+\mathbf{d})/2$, $S=O+h\mathbf{k}$. Khi đó $M=(1/2,0,0)$, $N=(0,1/2,0)$, $P=(1/2,1/2,2h/3)$ (vì $SP=SO/3$). Mặt phẳng $(MNP)$ có phương trình dạng $2x+2y-\frac{3}{2h}z=1$. Điểm $H$ trên $SC$: $H=S+t(C-S)$ với $t=SH/SC$, tọa độ $(1/2+t/2,1/2+t/2,h(1-t))$. Thay vào phương trình mặt phẳng: $2+2t-\frac{3}{2}(1-t)=1⟹\frac{7}{2}t=\frac{1}{2}⟹t=\frac{1}{7}$. Vậy $\frac{SH}{SC}=\frac{1}{7}$, phân số tối giản $a/b=1/7$, suy ra $a.b=7$, khớp đáp án nguồn (mã đề 1104, câu 3 = 7).