Từ một vị trí $A$, người ta buộc hai sợi cáp $AB$ và $AC$ đến một cái trụ cao $15m$, được dựng vuông góc với mặt đất, chân trụ ở vị trí $D$. Biết $CD=9m$ và $AD=12m$. Biết góc nhọn $\alpha =\widehat{BAC}$ và $\tan \alpha =\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $T=2a-3b$?

Một chiếc lều du lịch hình chóp có đáy là lục giác đều và hình chiếu của đỉnh lều trên mặt đất trùng với tâm của lục giác đáy, khung lều làm bằng tre (như hình bên dưới). Biết góc giữa các thanh tre với mặt sàn là $30^{\circ }$; tấm lót sàn hình lục giác đều có diện tích bằng $18\sqrt{3}{m}^2$. Người ta muốn treo 1 dây đèn trang trí dọc theo cột ở giữa của lều từ đỉnh lều xuống mặt sàn. Khi đó độ dài của dây đèn cần chuẩn bị để treo ít nhất bao nhiêu mét?

Các góc nhìn đến đỉnh núi so với mực nước biển được đo từ hai đền tín hiệu A và B trên biển được thể hiện trên hình vẽ. Nếu các đền tín hiệu cách nhau 1536 m thì ngọn núi cao bao nhiêu m? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Các góc nhìn đến đỉnh núi so với mặt nước biển được đo từ hai đèn tín hiệu A và B trên biển được thể hiện trên hình vẽ. Nếu các đèn tín hiệu cách nhau 1536 m thì ngọn núi cao bao nhiêu m? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

(1 điểm) Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất để ngắm bắn các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Vận động viên bắn trúng một mục tiêu cách mặt đất $13$ m tại một góc ngắm $\alpha$ (góc hợp bởi phương bắn và phương ngang). Nếu vận động viên tăng góc ngắm đó lên hai lần thì bắn trúng mục tiêu cách mặt đất $27$ m. Hỏi vị trí vận động viên nằm bắn cách bức tường bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Hai chiếc tàu thủy đậu trên biển tại hai vị trí lần lượt là $M,N$ cách nhau $500m$ và thẳng hàng với điểm $A$ là chân của một ngọn hải đăng $AB$. Từ $M$ và $N$ người ta nhìn đỉnh $B$ của tháp lần lượt dưới hai góc: $AMB=30^0$, $ANB=45^0$. Chiều cao $AB$ của tháp là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Để xác định chiều cao của một tòa nhà cao tầng, một người đứng tại điểm $M$, sử dụng giác kế nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng $\widehat{RQA}=79°$, người đó lùi ra xa một khoảng cách $LM=40$ m thì nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng $\widehat{RPA}=53°$. Tính chiều cao của tòa nhà, biết rằng khoảng cách từ mặt đất đến ống ngắm của giác kế đó là $PL=QM=1,4$ m. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét.