Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB//CD$, $AB=2CD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $E$ là điểm trên cạnh $SD$ thoả mãn $SE=2ED$.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$.
b) Chứng minh $OE//(SAB)$.

(AI giải đề cho tôi)
**a) Tìm giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$.**

Vì $AB//CD$ nên $AB//(SCD)$ (vì $AB$ không nằm trong $(SCD)$ và song song với đường thẳng $CD\subset (SCD)$).

Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ có điểm chung là $S$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$ (do $AB//(SCD)$ thì $AB$ song song với giao tuyến).

Trong mặt phẳng $(SCD)$, qua $S$ vẽ đường thẳng $d//CD$. Khi đó giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $d$ (đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ và $CD$).

**b) Chứng minh $OE//(SAB)$.**

Trong hình thang $ABCD$ với $AB//CD$, $AB=2CD$, xét tam giác $OAB$ và $OCD$:
- $AB//CD$ nên $△OAB\backsim △OCD$, suy ra $\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}=2$.

Trên tia $SA$ lấy điểm $F$ sao cho $SF=2FA$ (tức $\frac{SF}{FA}=2$). Trong tam giác $SBD$: vì $\frac{SF}{FA}=\frac{SE}{ED}=2$... xét tam giác $SAD$: $E$ trên $SD$ với $SE=2ED$ tức $\frac{SE}{ED}=2$; $F$ trên $SA$ với $\frac{SF}{FA}=2$. Suy ra $EF//AD$ (định lí Thales trong tam giác $SAD$).

Xét tam giác $SAC$: $F$ trên $SA$ với $\frac{SF}{FA}=2$, và $O$ trên $AC$ với $\frac{OA}{OC}=2$ tức $\frac{OA}{AC}=\frac{2}{3}$, cũng có $\frac{SF}{SA}=\frac{2}{3}$. Suy ra $\frac{SF}{SA}=\frac{OA}{AC}$, do đó $FO//SC$ (định lí Thales đảo trong tam giác $SAC$).

Vì $FO\subset (SAD)$... xét mặt phẳng $(FEO)$: ta có $FO//SC$ với $SC\subset (SCD)$, và $FE//AD$.

Xét tam giác $SBD$: $E$ trên $SD$ với $\frac{SE}{ED}=2$ tức $\frac{SE}{SD}=\frac{2}{3}$; $O$ trên $BD$ với $\frac{OB}{OD}=2$ tức $\frac{OB}{BD}=\frac{2}{3}$, suy ra $\frac{SO}{SB}=\frac{1}{3}$... chính xác hơn: $\frac{OD}{BD}=\frac{1}{3}$ nên $\frac{SE}{SD}=\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$.

Cách trình bày chuẩn: Trong tam giác $SBD$, gọi $I$ là điểm trên $SB$ sao cho $\frac{SI}{IB}=2$ (tức $\frac{SI}{SB}=\frac{2}{3}$). Vì $\frac{SE}{SD}=\frac{2}{3}=\frac{SI}{SB}$ nên $EI//DB$ (Thales trong tam giác $SDB$).

Xét tam giác $SAB$: $\frac{SI}{SB}=\frac{2}{3}$, và $O$ trên $AB$? Không — $O$ nằm trong đáy. Ta dùng mặt phẳng $(EIO)$: vì $EI//BD$ nên $EI//(ABCD)$, do đó $EI//OD$... Suy ra $EIOD$ là hình bình hành? Kiểm tra: $EI//BD$ tức $EI//OD$, và $E$ thuộc $SD$. Xét tam giác $SDB$: đường thẳng qua $E$ song song $DB$ cắt $SB$ tại $I$ với $\frac{SI}{SB}=\frac{SE}{SD}=\frac{2}{3}$.

Trong tam giác $SAB$: $\frac{SI}{SB}=\frac{2}{3}$. Gọi $K$ là giao điểm của $OI$ với $AB$... Thay vào đó dùng tỉ số: trong tam giác $SAB$, đường thẳng qua $O$ (trong mặt phẳng $(SAB)$) song song với $SA$ cắt $SB$ tại $I^{\prime }$ với $\frac{S{I}^{\prime }}{SB}=\frac{S{O}^{\prime }}{...}$ — cần vị trí của $O$ theo phương $SA$.

Cách gọn: Vì $\frac{OA}{OC}=2$ nên lấy $G$ trên đoạn $AC$ sao cho $\frac{AG}{GC}=2$... $O$ chính là điểm đó. Trong tam giác $SAC$, điểm $O$ trên $AC$ với $\frac{AO}{OC}=2$, lấy $F$ trên $SA$ với $\frac{SF}{FA}=2$, suy ra $OF//SC$. Mặt khác trong tam giác $SAD$: $\frac{SE}{ED}=\frac{SF}{FA}=2$ nên $EF//AD$. Vậy $(OEF)//(SCD)$? Không: $OF//SC$ và $EF//AD$ với $AD,SC\subset (SCD)$, hai đường cắt nhau tại $F$, nên $(OEF)//(SCD)$.

Suy ra giao tuyến của $(OEF)$ và $(SAB)$ là đường thẳng qua $O$ song song với giao tuyến của $(SCD)$ và $(SAB)$, tức song song với $AB$. Gọi giao tuyến này cắt $SB$ tại $I$ (vì $O$ nằm giữa $A$ và $C$, đường qua $O$ song song $AB$ trong $(SAB)$ cắt đoạn $SB$). Khi đó $OI//AB$.

Xét tam giác $SAB$: $OI//AB$ với $O$... nhưng $O$ không thuộc $(SAB)$! Sửa lại: giao tuyến của $(OEF)$ và $(SAB)$ đi qua $F$ (vì $F\in SA\subset (SAB)$) và song song với $AB$; cắt $SB$ tại $I$ với $\frac{SI}{SB}=\frac{SF}{SA}=\frac{2}{3}$.

Vậy trong tam giác $SBD$: $\frac{SE}{SD}=\frac{2}{3}$ và $\frac{SI}{SB}=\frac{2}{3}$, suy ra $EI//BD$ (Thales).

Xét tam giác $SBD$: $E\in SD$, $I\in SB$ với $\frac{SE}{SD}=\frac{SI}{SB}=\frac{2}{3}$, nên $EI//DB$.

Xét tam giác $SDB$ và điểm $O\in BD$: vì $EI//OB$ nên $OB//EI$, tức $O$ nằm trên đường thẳng qua... Xét tam giác $SBI$ (đường $BD$ cắt $OI$?): Ta có $EI//DB$, xét tam giác $SDB$: đường thẳng $OI$ với $I\in SB$, $O\in DB$: vì $EI//DB$ thì $\frac{SI}{SB}=\frac{SE}{SD}$, và trong tam giác $SDB$, đường thẳng qua $I$ song song với $DB$... Cần chứng minh $O,E,I$ thẳng hàng: xét tam giác $SBD$, đường thẳng qua $I$ song song $BD$ cắt $SD$ tại điểm có $\frac{SX}{SD}=\frac{SI}{SB}=\frac{2}{3}$, đó chính là $E$. Vậy $E,I$ và đường song song: $EI//BD$ và $O\in BD$, xét tam giác $SBI$ với $O$ trên $BI$? Không, $O\in BD$ không thuộc $BI$.

Dùng mặt phẳng: $EI//BD$ nên $EI//(ABCD)$, do đó $EI//OE$? Không. Ta có $EI//BD$ và $O\in BD$ nên $EI//OD$. Xét mặt phẳng $(SBD)$ chứa $E,I,O,D,B$: trong đó $EI//OD$ với $E\in SD$, $I\in SB$. Xét tam giác $SDB$: $EI//DB$. Đường thẳng $OI$: $O\in DB$, $I\in SB$. Trong tam giác $SDB$, $EI//DB$ nên $\frac{SE}{ED}=\frac{SI}{IB}=2$. Xét tam giác $SBI$... không cần: vì $EI//OB$ (vì $O\in BD$), xét tam giác $SBI$ không chứa $E$.

Chứng minh $O,E,I$ thẳng hàng: trong mặt phẳng $(SBD)$, $EI//BD$ và $O\in BD$. Đường thẳng $IE$ song song $BD$ nên không cắt $BD$; nhưng $O$ cần nằm trên $IE$ — sai hướng. Thực ra $O,E,I$ không thẳng hàng theo cách này.

**Trở lại cách đúng với hình bình hành:** Vì $\frac{SE}{SD}=\frac{2}{3}$ và $\frac{SO}{?}$... Cách chuẩn của bài này: Trong $(SBD)$, vì $\frac{OB}{OD}=2$, ta có $\frac{OD}{BD}=\frac{1}{3}$. Lấy $I$ trên đoạn $SB$ sao cho $\frac{SI}{SB}=\frac{2}{3}$; khi đó $\frac{IB}{SB}=\frac{1}{3}=\frac{OD}{BD}$, suy ra $IO//SD$ (Thales trong tam giác $SBD$: $\frac{BI}{BS}=\frac{BO}{BD}=\frac{1}{3}$). Vậy $IO//SD$, mà $E\in SD$, $S,E,D$ thẳng hàng.

Xét tam giác $SAD$... thay vào đó: $IO//SE$ (vì $SE\subset SD$). Xét tam giác $SDE$? Không. Xét mặt phẳng $(SAD)$: không chứa $O$.

Dùng tam giác $SBD$: $IO//SD$. Trong tam giác $SAD$, $EF//AD$ (với $F\in SA$, $\frac{SF}{SA}=\frac{2}{3}$). Xét tam giác $SAC$: $OF//SC$ (vì $\frac{SO}{?}$... đúng: $\frac{AO}{AC}=\frac{2}{3}=\frac{AF}{AS}$? Kiểm tra: $\frac{SF}{SA}=\frac{2}{3}$ nên $\frac{AF}{AS}=\frac{1}{3}$, còn $\frac{AO}{AC}=\frac{2}{3}$. Không khớp theo đỉnh $A$: cần $\frac{AF}{AS}=\frac{AO}{AC}$, tức $\frac{1}{3}\ne \frac{2}{3}$.

Sửa: lấy $F$ trên $SA$ sao cho $\frac{AF}{AS}=\frac{AO}{AC}=\frac{2}{3}$, tức $\frac{SF}{SA}=\frac{1}{3}$. Khi đó trong tam giác $SAC$: $\frac{AF}{AS}=\frac{AO}{AC}=\frac{2}{3}$ suy ra $FO//SC$. Trong tam giác $SAD$: $\frac{SF}{SA}=\frac{1}{3}$, còn $\frac{SE}{SD}=\frac{2}{3}$ — không Thales được.

**Cách chuẩn (dùng điểm $I$ trên $SB$):** Chọn $I\in SB$ với $\frac{SI}{SB}=\frac{2}{3}$. Trong tam giác $SBD$: $\frac{SE}{SD}=\frac{2}{3}=\frac{SI}{SB}$ nên $EI//DB$, do đó $EI//(ABCD)$.

Trong tam giác $SAB$: $\frac{SI}{SB}=\frac{2}{3}$. Trong $(SBD)$, $O\in BD$ với $\frac{BO}{BD}=\frac{2}{3}$. Xét tam giác $SBD$: đường thẳng qua $O$ song song với $SD$ cắt $SB$ tại điểm có $\frac{SX}{SB}=\frac{SO}{?}$ — không trực tiếp.

Dùng hệ quả Thales trong tam giác $SBD$ với đường thẳng $OI$: $I\in SB$, $O\in BD$, $\frac{BI}{BS}=\frac{1}{3}=\frac{BO}{BD}$ suy ra $IO//SD$ tức $IO//SE$.

Vậy ta có: $EI//OB$ (vì $EI//DB$ và $O\in DB$) và $IO//EB$? Không: $IO//SD$ tức $IO//ED$ (vì $E\in SD$). Vậy tứ giác $EIOD$: $EI//OD$ và $IO//ED$ — $EIOD$ là hình bình hành! Suy ra $OE$ và $ID$... điều cần: $OE//ID$? Không, hình bình hành $EIOD$ (đỉnh theo thứ tự $E,I,O,D$): $EI//DO$ và $IO//ED$. Đường chéo không song song. Nhưng ta cần $OE//(SAB)$: trong $(SBD)$, gọi $K$ là giao của $OE$ với $SB$...

Thực chất: trong mặt phẳng $(SBD)$, $E\in SD$ với $\frac{SE}{SD}=\frac{2}{3}$, $O\in BD$ với $\frac{BO}{BD}=\frac{2}{3}$, tức $\frac{DO}{DB}=\frac{1}{3}$. Đường thẳng $OE$ cắt $SB$ tại $I$: theo Menelaus trong tam giác $SDB$ với đường thẳng $O-E-I$: $\frac{BO}{OD}\cdot \frac{DE}{ES}\cdot \frac{SI}{IB}=1\Rightarrow 2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{SI}{IB}=1\Rightarrow \frac{SI}{IB}=1$, tức $I$ là trung điểm $SB$.

Vậy $OE$ cắt $SB$ tại trung điểm $I$ của $SB$. Xét tam giác $SAB$... nhưng cần $OE//(SAB)$ — nếu $OE$ cắt $SB$ thì $OE$ cắt $(SAB)$! Mâu thuẫn — nghĩa là $OE$ phải song song $(SAB)$, tức $OE//SB$? Kiểm tra Menelaus lại: nếu $OE//SB$ thì không giao. Kiểm tra trực tiếp bằng tọa độ:

Đặt $D=(0,0)$, $C=(1,0)$, $A=(2,2)$, $B=(4,2)$ (AB=2CD=2, đúng, AB//CD). $S=(0,0,3)$ (đỉnh trên D). $E$ với $SE=2ED$: $E=S+\frac{1}{3}(D-S)=(0,0,2)$. $O=AC\cap BD$: đường $AC$: $(2,2)+t(-1,-2)$; đường $BD$: $(4,2)+u(-4,-2)$. Giải: $2-t=4-4u$, $2-2t=2-2u\Rightarrow t=u$. $2-t=4-4t\Rightarrow 3t=2\Rightarrow t=2/3$. $O=(4/3,2/3)$.

Vector $OE=(0-4/3,0-2/3,2-0)=(-4/3,-2/3,2)$. Vector $SB=B-S=(4,2,-3)$. Không song song. Vector $AB=(2,0,0)$: không song song. Kiểm tra $OE$ có song song $(SAB)$ không: mặt $(SAB)$ chứa $S=(0,0,3),A=(2,2),B=(4,2)$. Normal: $SA=(2,2,-3)$, $SB=(4,2,-3)$, cross $=(-3\cdot ...)$: $SA\times SB=(2,2,-3)\times (4,2,-3)=(2\cdot (-3)-(-3)\cdot 2,(-3)\cdot 4-2\cdot (-3),2\cdot 2-2\cdot 4)=(-6+6,-12+6,4-8)=(0,-6,-4)$. Phương trình: $-6(y-0)-4(z-3)=0\Rightarrow -6y-4z+12=0\Rightarrow 3y+2z=6$. Điểm $E=(0,0,2)$: $0+4=4\ne 6$. Điểm $O=(4/3,2/3,0)$: $2+0=2\ne 6$. Vậy $OE$ không song song $(SAB)$ với cấu hình này?

Hmm, nhưng hình thang có thể đặt khác: $AB=2CD$, $O$ là giao $AC,BD$ — tỉ lệ $\frac{OA}{OC}=\frac{AB}{CD}=2$ luôn đúng. $\frac{OB}{OD}=2$ cũng đúng. Vậy trong $(SBD)$: $\frac{BO}{OD}=2$, $E$ với $\frac{SE}{ED}=2$ tức $\frac{SE}{SD}=\frac{2}{3}$, $\frac{OD}{BD}=\frac{1}{3}$, $\frac{DO}{DB}=\frac{1}{3}$.

Trong mặt phẳng $(SBD)$: dùng tọa độ phẳng với $S$ gốc: $D$ = vector $d$, $B$ = vector $b$. $E=\frac{1}{3}d$ (từ S). $O=\frac{1}{3}b$ (vì $BO:OD=2:1$, $O$ gần D: $O=D+\frac{1}{3}(B-D)$, từ $S$: $O=\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}d$). Sửa: $O=\frac{2}{3}d+\frac{1}{3}b$. $E=\frac{1}{3}d$. $OE=O-E=\frac{1}{3}b$. Vậy $OE=\frac{1}{3}\overrightarrow{SB}$, tức $OE//SB$!

Tọa độ trước của tôi sai chỗ nào? $E$: $SE=2ED$ nên $E$ chia $SD$ theo $2:1$, $E=S+\frac{2}{3}(D-S)=\frac{1}{3}S+\frac{2}{3}D=(0,0,1)$, không phải $(0,0,2)$. Tôi nhầm. Với $E=(0,0,1)$: $OE=(0-4/3,0-2/3,1-0)=(-4/3,-2/3,1)$. $SB=(4,2,-3)$. Tỉ lệ: $-4/3/4=-1/3$, $-2/3/2=-1/3$, $1/(-3)=-1/3$. Có! $OE=-\frac{1}{3}SB$, tức $OE//SB$. Chuẩn.

Vậy lời giải: $\frac{BO}{BD}=\frac{AB}{AB+CD}=\frac{2}{3}$ (từ đồng dạng $OAB\backsim OCD$), $\frac{BE}{?}$... Trình bày: trong $(SBD)$, $\frac{BO}{BD}=\frac{2}{3}$ và $\frac{BE}{?}$ — dùng $E$: $\frac{DE}{DS}=\frac{1}{3}$. Xét tam giác $SBD$: $O\in BD$ với $\frac{DO}{DB}=\frac{1}{3}$, $E\in DS$ với $\frac{DE}{DS}=\frac{1}{3}$, suy ra $OE//SB$ (định lí Thales trong tam giác $DBS$ tại đỉnh $D$). Mà $SB\subset (SAB)$, $OE\not\subset (SAB)$, nên $OE//(SAB)$. Đẹp!

Tỉ lệ $\frac{DO}{DB}$: đồng dạng $△OAB\backsim △OCD$ cho $\frac{OD}{OB}=\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$, nên $\frac{OD}{OB}=\frac{1}{2}$, $\frac{OD}{DB}=\frac{1}{3}$. Và $SE=2ED\Rightarrow \frac{DE}{DS}=\frac{1}{3}$. Kết luận đúng.

Lời giải hoàn chỉnh như trên.