Cho $\sin x=\frac{1}{3}\left(\frac{\pi }{2}<x<\pi \right)$. Khi đó

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $x$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\cos x<0$ (ý a đúng). Theo ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$: $\cos x=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ (ý b đúng). $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}\ne -\frac{7}{9}$ (ý c sai). $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{3}-\cos x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}-\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{6}+\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$ (ý d đúng). Kết quả khớp với đáp án nguồn: a Đ, b Đ, c S, d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $x$ thuộc góc phần tư thứ II, do đó $\cos x<0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ (dấu âm vì $x$ ở góc phần tư II).
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$, không phải $-\frac{7}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cdot \frac{1}{2}-\cos x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{6}+\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$.