Bạn An muốn làm một hộp quà dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông. Biết diện tích toàn phần của hộp quà luôn bằng $600{\text{ cm}}^2$. Hỏi độ dài cạnh đáy của hộp quà bằng bao nhiêu xentimét để thể tích hộp quà lớn nhất?

Câu 3. Một hộ kinh doanh mỗi ngày sản xuất được $x\text{ kg}$ sản phẩm $(0<x<14)$ với tổng chi phí sản xuất được tính bởi hàm chi phí $C(x)=x^3-3x^2-19x+200$ (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử hộ này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $170$ nghìn đồng/kg. Hỏi hộ đó thu được lợi nhuận tối đa trong một ngày là bao nhiêu nghìn đồng?

Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp (nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là $4{\text{ dm}}^3$.

Câu 1. Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $(1\le x\le 18)$. Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí: $C(x)=x^3-3x^2-20x+500$. Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $220$ nghìn đồng/mét. Gọi $B(x)$ là số tiền bán được và $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa. Hãy tính lợi nhuận tối đa hộ đó thu được.

Câu 3. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở $A$ đến một hòn đảo ở $C$. Khoảng cách ngắn nhất từ $C$ đến $B$ là $1\text{ km}$. Khoảng cách từ $B$ đến $A$ là $4\text{ km}$. Mỗi km dây điện đặt dưới nước mất $13000\text{ USD}$, còn đặt dưới đất mất $12000\text{ USD}$. Hỏi điểm $S$ trên bờ cách $A$ bao nhiêu để khi mắc dây điện từ $A$ qua $S$ rồi đến $C$ là ít tốn kém nhất?

[Hình 1]

Câu 4. Lát cắt của một vùng đất được mô hình hóa bởi hàm số bậc ba $y=f(x)=-\frac{1}{10}(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới (đơn vị trên các trục là km). Biết khoảng cách $OM=2\text{ km}$; độ rộng của núi $MN=4\text{ km}$. Khoảng cách từ điểm sâu nhất của hồ đến mặt hồ là $505\text{ m}$. Chiều cao của đỉnh núi so với mặt nước là bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

[Hình 1]

Câu 5. Nuôi cấy nấm men thu sinh khối (protein, amino acid…), ứng dụng làm tế bào nhân trong công nghệ gen để sản xuất một số chất có hoạt tính sinh học mạnh (kháng sinh…). Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số $P(t)=\frac{a}{b+e^{-0,75t}}$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng giờ. Đạo hàm của hàm số $y=P(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm men (tính bằng tế bào/giờ) tại thời điểm $t$. Tại thời điểm ban đầu $t=0$, quần thể có $30$ tế bào và tốc độ sinh trưởng là $15$ tế bào/giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì tốc độ sinh trưởng của quần thể nấm men đạt mức tối đa? *(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*.