Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp (nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là $4{\text{ dm}}^3$.

Câu 1. Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $(1\le x\le 18)$. Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí: $C(x)=x^3-3x^2-20x+500$. Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $220$ nghìn đồng/mét. Gọi $B(x)$ là số tiền bán được và $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa. Hãy tính lợi nhuận tối đa hộ đó thu được.

Câu 3. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở $A$ đến một hòn đảo ở $C$. Khoảng cách ngắn nhất từ $C$ đến $B$ là $1\text{ km}$. Khoảng cách từ $B$ đến $A$ là $4\text{ km}$. Mỗi km dây điện đặt dưới nước mất $13000\text{ USD}$, còn đặt dưới đất mất $12000\text{ USD}$. Hỏi điểm $S$ trên bờ cách $A$ bao nhiêu để khi mắc dây điện từ $A$ qua $S$ rồi đến $C$ là ít tốn kém nhất?

[Hình 1]

Câu 4. Lát cắt của một vùng đất được mô hình hóa bởi hàm số bậc ba $y=f(x)=-\frac{1}{10}(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới (đơn vị trên các trục là km). Biết khoảng cách $OM=2\text{ km}$; độ rộng của núi $MN=4\text{ km}$. Khoảng cách từ điểm sâu nhất của hồ đến mặt hồ là $505\text{ m}$. Chiều cao của đỉnh núi so với mặt nước là bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

[Hình 1]

Câu 5. Nuôi cấy nấm men thu sinh khối (protein, amino acid…), ứng dụng làm tế bào nhân trong công nghệ gen để sản xuất một số chất có hoạt tính sinh học mạnh (kháng sinh…). Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số $P(t)=\frac{a}{b+e^{-0,75t}}$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng giờ. Đạo hàm của hàm số $y=P(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm men (tính bằng tế bào/giờ) tại thời điểm $t$. Tại thời điểm ban đầu $t=0$, quần thể có $30$ tế bào và tốc độ sinh trưởng là $15$ tế bào/giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì tốc độ sinh trưởng của quần thể nấm men đạt mức tối đa? *(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*.

Cần sản xuất một cái bồn chứa dạng hình trụ (có cả hai đáy), có thể tích $1000{\text{ dm}}^3$ bằng inox để chứa nước. Để tiết kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy phải bằng

Hình bên mô tả một mặt cắt ngang của một tòa nhà cao tầng.



Một chiếc thang từ xe cứu hỏa lên đến mặt tường phía trước của tòa nhà phải vượt qua phần mái che cao $10\text{ m}$ so với mặt đất và vùng mái này nhô ra $12\text{ m}$ so với tường. Giả sử, độ cao từ mặt sàn đặt thang của xe cứu hỏa là $1,2\text{ m}$, hãy tìm độ dài ngắn nhất của chiếc thang để các lính cứu hỏa có thể thực hiện nhiệm vụ này (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).