Anh Thái và bác Nguyên có hai mảnh vườn có diện tích $S_1,S_2$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ như hình vẽ bên. Đơn vị của mỗi trục toạ độ là $5\text{ m}$ và nằm cạnh bên một con suối nhỏ được tạo bởi hai hàm số $y=f(x)$ và $y=f(x)+2$, biết rằng $f(x)=a{x}^4+b{x}^2+4$ có $S_1-S_2=\frac{64(\sqrt{2}-1)}{15}$. Từ năm 2025 hai nhà kết thông gia nên anh Thái muốn xây một cây cầu bắc từ nhà mình sang nhà bác Nguyên cho tiện đi lại. Tính độ dài ngắn nhất của cây cầu trên theo đơn vị mét (làm tròn đến hàng phần trăm).

Một doanh nghiệp sản xuất và bán một loại hàng hóa. Gọi $x$ (đơn vị: nghìn sản phẩm, $0<x\le 30,x\in \mathbb{N}$) là số lượng sản phẩm bán ra được. Giá bán mỗi sản phẩm (nghìn đồng/sản phẩm) phụ thuộc số lượng bán ra theo công thức $p(x)=120-2x$. Tổng chi phí sản xuất (triệu đồng) khi sản xuất $x$ nghìn sản phẩm là $C(x)=300+60x+0,2x^2+0,01x^3$. Tìm $x$ để lợi nhuận doanh nghiệp thu được là lớn nhất?

Một công ty du lịch chuyên tổ chức các Tour Trải nghiệm - khám phá, đặt hàng cho một cơ sở sản xuất lều bạt một lô hàng gồm 10 chiếc lều bạt du lịch giống hệt nhau, hình chóp tứ giác đều mà thể tích trong mỗi chiếc lều là $18{\text{ m}}^3$, đơn giá tính theo diện tích bạt sử dụng là 500 nghìn đồng/${\text{m}}^2$ (không tính đến đường viền, nếp gấp và lều không may bạt ở đáy). Hỏi số tiền ít nhất mà công ty du lịch phải trả cho cơ sở sản xuất lều bạt là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Từ một tấm tôn hình tam giác đều cạnh bằng $6\text{m}$, ông A cắt thành một tấm tôn hình chữ nhật và cuộn lại được một cái thùng hình trụ (như hình vẽ).
[IMAGE:fig_q50_q]

Ông A làm được cái thùng có thể tích tối đa là $V$ (vật liệu làm nắp thùng coi như không liên quan). Giá trị của $V$ thỏa mãn
[IMAGE:fig_q50_sol]

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $18000$ quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau $t$ phút ($t\in {\mathbb{N}}^{\ast }$), số vi khuẩn được xác định theo công thức: $f(t)=900+27t^2-t^3$ với $0\le t\le 30$. Hỏi sau bao nhiêu phút thì số vi khuẩn lớn nhất?

Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau $t$ phút ($t\in {\mathbb{N}}^{\ast }$), số vi khuẩn được xác định theo công thức: $f(t)=1000+30t^2-t^3$ với $0\le t\le 30$. Hỏi sau bao nhiêu phút thì số vi khuẩn lớn nhất?