Trên đường Bình đi từ nhà $(O)$ đến trường học $(Q)$ có điểm $K$ đang bị ngập nên không thể đi qua $K$. Biết rằng Bình chỉ được đi sang phải hoặc đi lên. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ $O$ đến $Q$ mà không đi qua điểm $K$?

Xét một đa giác đều có 60 đỉnh. Có bao nhiêu đa giác đều có các đỉnh là một trong các đỉnh của đa giác đều đã cho?

Có bao nhiêu cách chọn sáu số từ chín số nguyên $1,2,\dots ,9$ và điền vào các ô của hình dưới đây (mỗi ô chỉ điền đúng một số) sao cho tổng các số ở mỗi cột (kể cả cột có một ô) bằng nhau?

Có bao nhiêu cách xếp 4 học sinh nam và 4 học sinh nữ ngồi vào một dãy gồm 8 ghế hàng dọc sao cho học sinh nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?

Câu 5. Bác Nghĩa đang giúp con trai sắp xếp $16$ cuốn sách ôn thi vào một chiếc kệ $5$ ngăn phân biệt. $16$ cuốn sách này thuộc $8$ môn học khác nhau: Toán, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa, Văn, Anh. Mỗi môn học gồm đúng $2$ cuốn: một cuốn sách giáo khoa và một cuốn sách bài tập.



Để việc ôn tập đạt hiệu quả cao nhất theo từng khối thi, bác Nghĩa đặt ra các quy tắc khắt khe sau:
- Do ngăn kệ nhỏ, mỗi ngăn chỉ được chứa tối đa $5$ cuốn sách và không được để ngăn nào trống.
- Hai cuốn sách của cùng một môn học phải luôn nằm chung một ngăn với nhau.
- Các môn học trong cùng một tổ hợp môn thi phải nằm ở $3$ ngăn liên tiếp để thuận tiện cho việc tra cứu. Các tổ hợp bao gồm: (Văn, Sử, Địa), (Toán, Lý, Hóa), (Toán, Hóa, Sinh) và (Toán, Lý, Anh).
- Các cuốn sách trong mỗi ngăn được xếp theo hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn, thứ tự từ trái sang phải.

Tổng số cách sắp xếp $16$ cuốn sách này vào $5$ ngăn kệ thỏa mãn điều kiện trên là $T$. Tính giá trị của $\frac{T}{512}$?

Xét phép thử: Xếp ngẫu nhiên $9$ học sinh gồm $5$ nam, $4$ nữ thành một hàng dọc.

Câu 6. Để chuẩn bị cho lễ kỷ niệm $110$ năm ngày thành lập trường THPT Hai Bà Trưng, Đoàn trường thiết kế một bảng trang trí gồm $12$ ô vuông xếp thành lưới như hình vẽ. Các học sinh lớp 12A4 được giao nhiệm vụ gắn các chữ cái bằng đèn led lên bảng, bao gồm: $2$ chữ **H**, $1$ chữ **B** và $3$ chữ **T** (viết tắt của cụm từ "Hai Bà Trưng").



Biết mỗi ô vuông chỉ gắn tối đa một chữ cái. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái này sao cho trên bảng xuất hiện ít nhất một dòng chữ **HBT** (theo hàng từ trái qua phải hoặc theo cột từ trên xuống dưới) và không có hàng nào bị trống?