Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;-1;-3)$ và $B(0;3;-1)$. Phương trình của mặt cầu đường kính $AB$ là:

Xét vị trí tương đối của đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$ với mặt phẳng $(P):x+2z-7=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{-5}=\frac{z+1}{3}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$?

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;-3)$ và bán kính $R=5$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\{\begin{array}{l}x=5-2t\\ y=5+3t\\ z=2t\end{array}$ và ${\Delta }_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-6}{4}$. Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-8x+2y+1=0$. Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu $(S)$.

Trong không gian $Oxyz$, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M(2;0;-1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a}=(2;-3;1)$ là

Lớp 12A có $40$ học sinh, trong đó có $25$ học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh, $16$ học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, $12$ học sinh vừa tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh vừa tham gia câu lạc bộ Toán. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh. Xét các biến cố sau:
$A$: "Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh";
$B$: "Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Toán".
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1+t\\ z=-t\end{array}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):3x-2y+z-1=0$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-2y+4z-3=0$.

Cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}$ và điểm $M(2;-1;8)$. $H(a;b;c)$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $d$. Tính giá trị $a+b+c$.

Tại lễ tri ân trưởng thành của học sinh khối 12 của trường THPT Bình Chiểu, kết thúc buổi lễ, một học sinh khối 12 đại diện cho các bạn thả một khinh khí cầu với khát vọng bay cao và vươn xa. Trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị ứng với $1\text{ m}$, giả sử khinh khí cầu đang ở vị trí có phương trình $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-10{)}^2=2$. Cùng thời điểm đó, ba chiếc flycam $A,B,C$ cách nhau $3\text{ m},4\text{ m},5\text{ m}$ tạo thành một tam giác $ABC$ có $3$ cạnh tiếp xúc với mặt cầu $(S)$, biết rằng $(ABC)$ song song với mặt phẳng $(P):2x-y+2z-17=0$ có phương trình dạng $2x+ay+bz+c=0$. Tổng giá trị $T=a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A(2;0;0)$, $B(1;3;0)$, $C(-1;0;3)$, $D(1;2;3)$. Tìm bán kính của mặt cầu $(S)$ ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Một trạm X có chức năng thu phát sóng điện thoại. Bán kính phủ sóng của trạm X là $2\text{ km}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ trùng với trạm X và đơn vị độ dài trên mỗi trục là $1\text{ km}$. Từ một nơi nằm ngoài vùng phủ sóng của trạm X, bạn An đi xuyên qua khu vực trạm X phủ sóng và đi trên một con đường có dạng đường thẳng $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1-t\\ z=\sqrt{3}\end{array}$. Quãng đường mà bạn An đi vào vùng phủ sóng của trạm X bằng bao nhiêu $\text{km}$? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Một hộp chứa $12$ viên bi xanh và $6$ viên bi đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Bạn An lấy ngẫu nhiên ra một viên bi từ hộp, xem màu rồi bỏ ra ngoài. Đến lượt bạn Bình lấy bi với số lượng phụ thuộc vào màu của viên bi mà bạn An đã lấy. Cụ thể: Nếu viên bi An lấy ra có màu xanh thì bạn Bình sẽ lấy ra hai viên bi từ hộp; còn nếu viên bi An lấy ra có màu đỏ thì bạn Bình sẽ lấy ngẫu nhiên $4$ viên bi từ hộp. Tính xác suất để bạn An lấy được viên bi màu đỏ, biết rằng trong các viên bi bạn Bình lấy ra có ít nhất một viên bi khác màu với viên bi của bạn An (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng đi qua $3$ điểm $A(-1;1;3)$, $B(2;-1;3)$, $C(2;2;-1)$ có dạng $ax+by+cz-31=0$. Tính giá trị $a-c$.