Một trạm X có chức năng thu phát sóng điện thoại. Bán kính phủ sóng của trạm X là $2\text{ km}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ trùng với trạm X và đơn vị độ dài trên mỗi trục là $1\text{ km}$. Từ một nơi nằm ngoài vùng phủ sóng của trạm X, bạn An đi xuyên qua khu vực trạm X phủ sóng và đi trên một con đường có dạng đường thẳng $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1-t\\ z=\sqrt{3}\end{array}$. Quãng đường mà bạn An đi vào vùng phủ sóng của trạm X bằng bao nhiêu $\text{km}$? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y + 1 =0 và đường thẳng
 x = 2t

d :  y = 1 + t . Số điểm chung của đường thẳng d và mặt cầu ( S ) là
 z= 2 - t


Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1;2;3) và mặt cầu ( S ) : ( x - 2 ) + ( y + 1) + ( z - 1) =
9.
Đường thẳng qua A , cắt mặt cầu ( S ) theo một dây cung có độ dài bằng 6 có phương trình là
x= 1+ t x= 1+ t  x= 2 + t  x= 2 + t
   

Trong không gian $Oxyz$, một con chim bồ câu xuất phát từ $O(0;0;0)$ di chuyển với véctơ vận tốc ${\vec{v}}_1=(1;2;2)$. Cùng lúc đó, một con chim én cũng bắt đầu di chuyển từ $A(0;0;5)$ với véctơ vận tốc ${\vec{v}}_2=(0;3;4)$. Tồn tại một vùng không gian nguy hiểm, nơi mà người ta thường xuyên săn bắn chim có dạng mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y-4{)}^2+(z-4{)}^2=16$. Biết rằng đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1,5\text{ meˊt}$ và đơn vị đo thời gian là giây.
[IMAGE:img_q16_birds]

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm ra đa được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với tầm quan sát là $3\text{ km}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(-3;3;-3)$ thuộc mặt phẳng $(\alpha ):2x-2y+z+15=0$ và mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z-5{)}^2=100$. Đường thẳng $\Delta$ qua $M$, nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ và cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho độ dài $AB$ nhỏ nhất. Tìm một vectơ chỉ phương $\vec{u}$ của $\Delta$.

Cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-2}{2}$. Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1;2;-1)$ cắt $d$ tại các điểm $A,B$ sao cho $AB=2\sqrt{3}$.