Trong không gian $Oxyz$, một con chim bồ câu xuất phát từ $O(0;0;0)$ di chuyển với véctơ vận tốc ${\vec{v}}_1=(1;2;2)$. Cùng lúc đó, một con chim én cũng bắt đầu di chuyển từ $A(0;0;5)$ với véctơ vận tốc ${\vec{v}}_2=(0;3;4)$. Tồn tại một vùng không gian nguy hiểm, nơi mà người ta thường xuyên săn bắn chim có dạng mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y-4{)}^2+(z-4{)}^2=16$. Biết rằng đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1,5\text{ meˊt}$ và đơn vị đo thời gian là giây.
[IMAGE:img_q16_birds]

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm ra đa được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với tầm quan sát là $3\text{ km}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(-3;3;-3)$ thuộc mặt phẳng $(\alpha ):2x-2y+z+15=0$ và mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z-5{)}^2=100$. Đường thẳng $\Delta$ qua $M$, nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ và cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho độ dài $AB$ nhỏ nhất. Tìm một vectơ chỉ phương $\vec{u}$ của $\Delta$.

Cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-2}{2}$. Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1;2;-1)$ cắt $d$ tại các điểm $A,B$ sao cho $AB=2\sqrt{3}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\text{ km}$. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát $317\text{ km}$ sẽ hiển thị trên màn hình rađa. Một máy bay X đang bay ở vị trí $A(-688;-185;11)$, chuyển động theo đường thẳng hướng đến điểm $E(677;940;11)$ (xem hình vẽ minh họa).

[IMAGE:img_q20_radar]

Biết rằng vận tốc máy bay là $900\text{ km/h}$, hãy tính số phút máy bay xuất hiện trên màn hình rađa của đài kiểm soát không lưu (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là km), một tàu đánh cá gặp nạn đang phát tín hiệu cấp cứu tại vị trí $T(1;-2;1)$, tín hiệu này có bán kính phủ sóng tối đa là 9 km. Một trực thăng cứu hộ đang bay từ vị trí $P(10;10;13)$ theo hướng vectơ $\vec{u}=(-3;-4;-4)$ với tốc độ không đổi $150\text{ km}/\text{h}$.
Các khẳng định sau đúng hay sai?

Câu 3. Trong một dự án khảo sát địa chất thăm dò tài nguyên, các nhà khoa học phát hiện một túi khí tự nhiên trong lòng đất được xác định có dạng khối cầu $(S)$, một lớp đá móng ngăn cách các địa tầng là mặt phẳng $(P)$. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ phù hợp (mặt đất nằm trên mặt phẳng $Oxy$, chiều dương trục $Oz$ hướng lên trên), đơn vị trên mỗi trục là $10\text{ m}$, mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+11{)}^2=25$, lớp đá móng $(P)$ được coi là một mặt phẳng có phương trình $2x-y+2z+22=0$. Để thực hiện việc thăm dò, các nhà khoa học đặt mũi khoan được định hướng bắt đầu từ vị trí $A(-3;8;0)$ và tiến tới liên tục theo phương của vectơ $\vec{u}=(4;-3;-7)$.