Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(5;0;0),B(4;3;0)$ và điểm $C$ nằm trên trục $Oz$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Khi $C$ di chuyển trên trục $Oz$ thì $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 5. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;-1;2)$, $B(-1;1;1)$, $C(-3;-3;4)$, $D\left(1;\frac{1}{2};1\right)$. Điểm $M$ thay đổi trên $\text{mp}(Oxy)$. Khi biểu thức $T=-3{\left(\frac{MA}{MD}\right)}^2-2{\left(\frac{MB}{MD}\right)}^2+{\left(\frac{MC}{MD}\right)}^2$ đạt giá trị lớn nhất thì hoành độ của điểm $M$ bằng bao nhiêu?

Câu 2. Một khu resort dựng một lều sự kiện hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy vuông cạnh $6\text{ m}$, cao $4\text{ m}$. Cửa lều là hình thang $EFGH$ trên mặt bên $(SAB)$ sao cho $EA=FB=1\text{ m}$ (với $E,F\in AB$ và $H,G$ lần lượt là trung điểm $SE,SF$). Nguồn sáng $I$ treo tại $(0;0;a)$ trên trục $Oz$ ($2<a<4$) chiếu qua cửa lều tạo thành vùng sáng hình thang $EF{G}^{\prime }{H}^{\prime }$ trên sân cỏ.
Biết rằng ngay trước cửa lều, dọc theo trục $Ox$:
- Người ta trải một tấm thảm đỏ rộng $4\text{ m}$ dài $6\text{ m}$ sao cho cạnh ngắn nhất vừa khít với cửa lều.
- Cách cửa lều $9\text{ m}$ là mép của một hồ bơi sang trọng.

Câu 4. Miền Trung Việt Nam vốn luôn phải oằn mình chống chọi với thiên tai. Giả sử trong một đợt áp thấp nhiệt đới mạnh lên thành bão, Trung tâm Dự báo Khí tượng Thủy văn Quốc gia phát đi thông báo khẩn về cơn bão số 4 có tên quốc tế là Sao La. Trên bản đồ quy hoạch phòng chống thiên tai được gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ với đơn vị đo là $10\text{ km}$ (hướng Đông là trục $Ox$, hướng Bắc là trục $Oy$), vị trí ba thành phố trọng điểm là Hà Tĩnh, Vinh (Nghệ An) và Thanh Hóa được xác định lần lượt tại các điểm $T(0;0)$, $N(-2;3)$ và $H(-1;5)$. Tại thời điểm bản tin phát đi, tâm bão Sao La đang ở ngoài khơi Biển Đông, cách thành phố Hà Tĩnh $200\text{ km}$. Vị trí tâm bão nằm ở hướng Đông Nam so với Hà Tĩnh, tạo với phương Đông một góc $\alpha$ sao cho $\cos \alpha =0,8$. Cơn bão di chuyển phức tạp theo hướng Tây Bắc lệch $60^{\circ }$ so với hướng Tây với vận tốc $20\text{ km/h}$. Sức tàn phá của bão rất lớn với vùng nguy hiểm là một hình tròn có bán kính ban đầu $20\text{ km}$ và liên tục mở rộng thêm $10\text{ km}$ mỗi giờ. Để lên phương án sơ tán dân cư đồng bộ, Ban chỉ đạo cần biết khoảng thời gian mà cả 3 thành phố này cùng nằm trong vùng nguy hiểm của bão Sao La kéo dài bao nhiêu giờ? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Nhân ngày Khai giảng năm học mới, các chú bảo vệ của trường THPT A dùng dây thừng có gắn đủ màu sắc để trang trí. Trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên trục tọa độ là mét, mặt phẳng $Oxy$ là mặt đất, trục $Oz$ hướng lên trời. Có ba cây cột được cắm trên sân trường, trong đó:
- Chân của cột 1 (chiều cao $10\text{ m}$) nằm ở gốc tọa độ;
- Chân của cột 2 (chiều cao $15\text{ m}$) nằm trên trục $Ox$;
- Chân của cột 3 (chiều cao $20\text{ m}$) nằm trên trục $Oy$;
- Khoảng cách từ cột 1 đến cột 2 là $30\text{ m}$ và khoảng cách từ cột 2 đến cột 3 là $50\text{ m}$.
Để trang trí cho ngày lễ, chú bảo vệ sẽ:
- Nối dây từ đỉnh cột 2 xuống mặt đất rồi lại nối lên đỉnh cột 1;
- Từ đỉnh cột 1 kéo dây nối xuống mặt đất rồi tiếp lên đỉnh cột 3.
Gọi $A(x;y;z)$ và $B(a;b;c)$ là hai vị trí chạm đất của dây thừng. Gọi $T$ là tổng chiều dài sợi dây ngắn nhất sau khi nối từ đỉnh cột 2 đến đỉnh cột 3. Tính giá trị $x+y+z+a+b+c+T$ (Không làm tròn các giá trị trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

[IMAGE:img_q22_poles]

Trong quá trình ông An xây nhà thì phải đổ bê tông cho một mái vát để lợp ngói. Ông tính toán việc ghép cốt pha đi qua điểm $B$ trên một chân tường và điểm $C$ trên cột góc nhà và tận dụng một chiếc cột có sẵn cách đều hai bức tường $1\text{ m}$ và chiều cao $1\text{ m}$ (đỉnh cột là điểm $M$) để chống mặt ghép, đồng thời mặt ghép cốt pha phải đi qua điểm $A$ trên một chân tường còn lại cách điểm $O$ một khoảng $2\text{ m}$ (tham khảo hình vẽ). Biết rằng hai bức tường được xây vuông góc với nhau, mỗi bức tường đều vuông góc với sàn mái nhà. Diện tích nhỏ nhất của khung ghép cốt pha $ABC$ là bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Câu 4. Đặt hệ trục tọa độ $Oxyz$ vào chiếc cầu (như hình vẽ), với $O$ là điểm nằm trên bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục $Oz$ trùng với cột trụ, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt nước. Giả sử đoạn cầu nối từ điểm $A$ đến trục $Oz$ song song với trục $Oy$, đoạn cầu này có độ dài bằng $343\text{ m}$ và nằm cách mặt nước $75\text{ m}$ (đơn vị trên hệ trục tọa độ là mét). Dây cáp $AD$ (xem như một đoạn thẳng) nối điểm $D$ thuộc trục $Oz$ với một điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(Oyz)$. Biết điểm $D$ là đỉnh cột trụ, cách mặt nước $227\text{ m}$.

[Hình 1]