Câu 2. Một khu resort dựng một lều sự kiện hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy vuông cạnh $6\text{ m}$, cao $4\text{ m}$. Cửa lều là hình thang $EFGH$ trên mặt bên $(SAB)$ sao cho $EA=FB=1\text{ m}$ (với $E,F\in AB$ và $H,G$ lần lượt là trung điểm $SE,SF$). Nguồn sáng $I$ treo tại $(0;0;a)$ trên trục $Oz$ ($2<a<4$) chiếu qua cửa lều tạo thành vùng sáng hình thang $EF{G}^{\prime }{H}^{\prime }$ trên sân cỏ.
Biết rằng ngay trước cửa lều, dọc theo trục $Ox$:
- Người ta trải một tấm thảm đỏ rộng $4\text{ m}$ dài $6\text{ m}$ sao cho cạnh ngắn nhất vừa khít với cửa lều.
- Cách cửa lều $9\text{ m}$ là mép của một hồ bơi sang trọng.

Nhân ngày Khai giảng năm học mới, các chú bảo vệ của trường THPT A dùng dây thừng có gắn đủ màu sắc để trang trí. Trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên trục tọa độ là mét, mặt phẳng $Oxy$ là mặt đất, trục $Oz$ hướng lên trời. Có ba cây cột được cắm trên sân trường, trong đó:
- Chân của cột 1 (chiều cao $10\text{ m}$) nằm ở gốc tọa độ;
- Chân của cột 2 (chiều cao $15\text{ m}$) nằm trên trục $Ox$;
- Chân của cột 3 (chiều cao $20\text{ m}$) nằm trên trục $Oy$;
- Khoảng cách từ cột 1 đến cột 2 là $30\text{ m}$ và khoảng cách từ cột 2 đến cột 3 là $50\text{ m}$.
Để trang trí cho ngày lễ, chú bảo vệ sẽ:
- Nối dây từ đỉnh cột 2 xuống mặt đất rồi lại nối lên đỉnh cột 1;
- Từ đỉnh cột 1 kéo dây nối xuống mặt đất rồi tiếp lên đỉnh cột 3.
Gọi $A(x;y;z)$ và $B(a;b;c)$ là hai vị trí chạm đất của dây thừng. Gọi $T$ là tổng chiều dài sợi dây ngắn nhất sau khi nối từ đỉnh cột 2 đến đỉnh cột 3. Tính giá trị $x+y+z+a+b+c+T$ (Không làm tròn các giá trị trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

[IMAGE:img_q22_poles]

Trong quá trình ông An xây nhà thì phải đổ bê tông cho một mái vát để lợp ngói. Ông tính toán việc ghép cốt pha đi qua điểm $B$ trên một chân tường và điểm $C$ trên cột góc nhà và tận dụng một chiếc cột có sẵn cách đều hai bức tường $1\text{ m}$ và chiều cao $1\text{ m}$ (đỉnh cột là điểm $M$) để chống mặt ghép, đồng thời mặt ghép cốt pha phải đi qua điểm $A$ trên một chân tường còn lại cách điểm $O$ một khoảng $2\text{ m}$ (tham khảo hình vẽ). Biết rằng hai bức tường được xây vuông góc với nhau, mỗi bức tường đều vuông góc với sàn mái nhà. Diện tích nhỏ nhất của khung ghép cốt pha $ABC$ là bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Câu 4. Đặt hệ trục tọa độ $Oxyz$ vào chiếc cầu (như hình vẽ), với $O$ là điểm nằm trên bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục $Oz$ trùng với cột trụ, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt nước. Giả sử đoạn cầu nối từ điểm $A$ đến trục $Oz$ song song với trục $Oy$, đoạn cầu này có độ dài bằng $343\text{ m}$ và nằm cách mặt nước $75\text{ m}$ (đơn vị trên hệ trục tọa độ là mét). Dây cáp $AD$ (xem như một đoạn thẳng) nối điểm $D$ thuộc trục $Oz$ với một điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(Oyz)$. Biết điểm $D$ là đỉnh cột trụ, cách mặt nước $227\text{ m}$.

[Hình 1]

Câu 5. Một căn phòng có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $4\text{ m}$, chiều rộng $3\text{ m}$ và chiều cao $3\text{ m}$. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với một góc phòng và mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt sàn (xem hình vẽ), đơn vị đo được lấy theo mét. Trên bức tường thuộc mặt phẳng $Oyz$ có một cột dạng hình hộp chữ nhật nhô ra với chiều dài $0,4\text{ m}$, chiều rộng $0,2\text{ m}$. Bác Nam lắp một bóng đèn trên tường tại vị trí điểm $A\left(1;0;\frac{5}{2}\right)$ và công tắc bóng đèn đặt tại điểm $B\left(\frac{1}{2};4;1\right)$. Dây cấp điện cho bóng đèn được đấu từ công tắc điện dọc theo các bức tường (không đi qua trần nhà, sàn nhà) và nối đến bóng đèn. Hỏi bác phải dùng đoạn dây điện có độ dài tối thiểu là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

[Hình 1]

Trong không gian $Oxyz$ với đơn vị dài trên mỗi trục là $1\text{ cm}$, một con ruồi xuất phát tại vị trí điểm $A(3;2;1)$ bay xuống mặt phẳng $(Oxy)$ nó nghỉ tại chỗ một lát rồi sau đó bay đến mặt phẳng $(P):y-z=0$. Tại mặt phẳng $(P)$ con ruồi cẩn thận bò đi một đoạn đường thẳng có độ dài bằng $2\text{ cm}$, sau đó nó bay trở về vị trí xuất phát. Tính độ dài ngắn nhất của quãng đường mà con ruồi đã thực hiện (Kết quả tính theo đơn vị $\text{cm}$ và làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;3;2),B(-2;-1;4)$ và hai điểm $M,N$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MN=1$. Giá trị nhỏ nhất của $A{M}^2+B{N}^2$ là