Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;3;2),B(-2;-1;4)$ và hai điểm $M,N$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MN=1$. Giá trị nhỏ nhất của $A{M}^2+B{N}^2$ là

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên mặt phẳng $(Oxy)$. Ta có $H(1;3;0),K(-2;-1;0)$, suy ra $AH=2,BK=4,HK=\sqrt{(-3{)}^2+(-4{)}^2}=5$.
Ta có: $A{M}^2+B{N}^2=A{H}^2+H{M}^2+B{K}^2+K{N}^2=20+H{M}^2+K{N}^2$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $H{M}^2+K{N}^2\ge \frac{1}{2}(HM+KN{)}^2$.
Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác: $HM+MN+NK\ge HK\Rightarrow HM+1+KN\ge 5\Rightarrow HM+KN\ge 4$.
Do đó: $A{M}^2+B{N}^2\ge 20+\frac{1}{2}\cdot 4^2=20+8=28$.
Đẳng thức xảy ra khi $M,N$ thuộc đoạn $HK$ thỏa mãn $HM=KN=2,MN=1$.