Câu 11. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ và $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$. Đặt $\overrightarrow{BA}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên đường chéo $AC$ lấy điểm $M$, trên đường chéo $BF$ lấy điểm $N$ sao cho $\frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BF}=k$ ($0<k<1$). Tìm $k$ để $MN$ song song với $DE$.

Câu 1. Trong không gian cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $A^{\prime }{C}^{\prime }$ thỏa mãn $\overrightarrow{A^{\prime }M}=2\overrightarrow{M{C}^{\prime }}$, điểm $N$ là điểm trên cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ thỏa mãn $\overrightarrow{B^{\prime }N}=\frac{1}{2}\overrightarrow{N{C}^{\prime }}$. Gọi $I$ là giao điểm của $A^{\prime }N$ và $B^{\prime }M$. Biết $\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}+z\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Khi đó tổng $x+y+z$ bằng

Câu 8. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $M$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{CA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{CB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{c}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $G$ là trọng tâm của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a},\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Khi đó $\overrightarrow{AG}$ bằng

Cho tam giác $ABC$. Gọi $I$ là điểm nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BI=3IC$. Gọi $K$ là điểm nằm trên cạnh $AB$ sao cho $2AK=3KB$.

Câu 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$, $M$ là điểm thay đổi trên $SO$. Tỉ số $\frac{SM}{SO}=\frac{a}{b}$ sao cho $P=M{S}^2+M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2$ nhỏ nhất là bao nhiêu. Tính $a+b$?