Cho hai biến cố $A$ và $B$. Xác suất của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra được gọi là xác suất của $A$ với điều kiện $B$, ký hiệu là $P(A|B)$. Phát biểu nào sau đây đúng?

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(-3;0;4)$ có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;2)$ là

$\int (\sin x+4x^3)\mathrm{d}x$ bằng

Cho 2 biến cố $A$ và $B$. Biết $P(A|B)=0,8$; $P\left(A|\overline{B}\right)=0,3$; $P(B)=0,4$. Giá trị $P(A)$ bằng

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d có phương trình $\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{3}$ ?

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(1;-2;-5)$ và có một véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;-1)$ là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2+5$, $y=6x$, $x=0$, $x=1$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)=x^2+1$ và hàm số $y=g(x)=2x$. Gọi $H$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x),g(x)$ và trục $Oy$.

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(A)>0,P(B)>0$. Cho các khẳng định sau:

Các nhà thầu đang xây dựng một bức tường leo núi tại góc tường của một phòng tập thể thao. Trong không gian $Oxyz$, các điểm $(x,y,z)$ được xác định so với điểm neo mặt đất $O(0;0;0)$ (đơn vị mét). Các thanh chống được đặt theo những đường thẳng, và có thể bỏ qua bề dày của thanh chống cũng như của bức tường leo núi. Ba thanh chống $S_1,S_2,S_3$ của bức tường đều xuất phát từ $O$ và lần lượt có vectơ chỉ phương $(1;0;0),(0;1;0),(0;0;1)$. Hai thanh $S_1$ và $S_2$ nằm trên mặt đất (tức là $z=0$). Các đỉnh $A,B,C$ của bức tường lần lượt nằm trên các thanh $S_1,S_2,S_3$. Bức tường nằm trên mặt phẳng $(P)$ có cặp véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(2;3;-12)$, $\vec{v}=(1;2;-7)$ và đi qua điểm $M(1;5;-1)$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y+z-5=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+2y-1=0$ và điểm $A(1;-1;-1)$.

Áo sơ mi An Phước trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 98\% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất, và 95\% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tìm xác suất để 1 chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu? (làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hai biến cố $A,B$ thỏa mãn $P(A)=0,3;P(B\mid A)=0,4;P\left(B\mid \overline{A}\right)=0,5$. Tính $P(B)$

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x=1$ và $x=2$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(1\le x\le 2)$ cắt vật thể đó có diện tích $S(x)=2024x$. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.

Một chậu cây có chiều cao là $30cm$ và đường kính miệng chậu là $30cm$. Mặt cắt ngang của chậu cây là một đường parabol (tham khảo hình vẽ).



Tính thể tích của chậu cây đó (đơn vị: $d{m}^3$, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình bên. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm $O$ (gốc cây thông) và $A$, $B$ (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là $O(0;0;0)$, $A(3;-4;2)$, $B(-5;-2;1)$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm $(0;0;5)$ và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Tính tổng các góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Trong không gian $Oxyz$, cho $M(a;b;1)$ thuộc mặt phẳng $(P):2x-y+z-3=0$. Tính giá trị biểu thức $S=20a-10b$.