Một phụ nữ sinh hai người con. Xác suất để cả hai là con trai bằng bao nhiêu biết rằng người phụ nữ đó có ít nhất một người con trai?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$. Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ là

Nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x+\cos x$ là

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=4$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay sinh ra khi cho $(H)$ quay quanh trục $Ox$ bằng

Cho hai biến cố $A$ và $B$ có $P(A)=0,6$, $P(B)=0,4$ và $P(AB)=0,12$. Xác suất có điều kiện $P(A\mid B)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):2x-y+3z-5=0$ có một véc-tơ pháp tuyến là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A(1;2;-1)$ và $B(2;-1;1)$ là

Trong một đại sảnh triển lãm, người ta chọn hệ tọa độ $Oxyz$ với mặt sàn được xem là mặt phẳng $(Oxy)$ (đơn vị đo chiều dài là mét). Một bóng đèn chiếu sáng được đặt trên trần nhà tại điểm $M(1;1;6)$. Một thanh trang trí $AB$ bằng kim loại được treo nằm ngang song song với mặt sàn, có tọa độ các đầu mút là $A(2;-2;4)$ và $B(0;-1;4)$. Bóng đèn chiếu sáng thanh $AB$ tạo ra một bóng râm là đoạn thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ trên mặt sàn. Ban quản lý muốn trải một tấm thảm hình tròn trang trí có tâm tại gốc $O(0;0;0)$ để che phủ hoàn toàn bóng râm này.

Một chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc $v(t)$ (m/s) có dạng đường thẳng khi $0\le t\le 4$ (s) và $8\le t\le 13$ (s) và $v(t)$ có dạng đường Parabol khi $4\le t\le 8$ (s) như hình bên.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):8x-3y+2z+61=0$.

Một viên nghiên cứu về an toàn giao thông muốn tìm hiểu về mối quan hệ giữa việc thắt dây an toàn khi lái xe và nguy cơ tử vong của người lái xe khi xảy ra tai nạn giao thông. Giả sử viên đã xem xét 658 757 vụ tai nạn giao thông ô tô và việc thắt dây an toàn của người lái xe khi xảy ra tai nạn giao thông. Kết quả cho thấy:
- Trong số những người lái xe có thắt dây an toàn, có 527 người tử vong và 490 680 người sống sót;
- Trong số những người lái xe không thắt dây an toàn, có 1 590 người tử vong và 165 960 người sống sót.

Kết quả trên được trình bày dạng bảng dưới đây:


Chọn ngẫu nhiên một người lái xe trong số 658 757 người bị tai nạn giao thông.
- Gọi $A$ là biến cố: “Người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông”;
- Gọi $B$ là biến cố: “Người lái xe đó không thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông”.

Một doanh nghiệp trước khi xuất khẩu áo sơ mi phải qua hai lần kiểm tra chất lượng sản phẩm, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 99% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và 94% sản phẩm qua được lần kiểm tra thứ nhất sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tính xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, biết rằng $A(-2;-1;-5)$, $B(-5;3;-2)$, $D(-4;1;-7)$, $A^{\prime }(2;3;-3)$. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn $C^{\prime }D$ có dạng $mx+8y+nz+p=0$. Khi đó $3m+2n-p$ bằng bao nhiêu?

Cho $f$, $g$ là hai hàm số liên tục trên đoạn $[0;4]$ thỏa mãn $${\int }_0^4[-f(x)-g(x)]\mathrm{d}x=-8$$ và $${\int }_0^4[-2f(x)+g(x)]\mathrm{d}x=-1.$$ Tính $${\int }_0^4[2f(x)+g(x)]\mathrm{d}x.$$

Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu $0,6$ (m). Một ô tô $A$ đang chạy với vận tốc $15$ m/s bỗng gặp ô tô $B$ đang đứng chờ đèn đỏ nên ô tô $A$ hãm phanh và chuyển động chậm dần đều bởi vận tốc được biểu thị bởi công thức $v_A(t)=-5t+15$ (m/s). Để hai ô tô $A$ và $B$ đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô $A$ phải hãm phanh khi cách ô tô $B$ một khoảng ít nhất là $s$ mét. Tính giá trị của $s$. (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-2y+6z-14=0$ và mặt phẳng $(P):-3x-y-3z+3=0$. Biết $(P)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính $r$. Khi đó $r$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Để chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPTQG, giáo viên chủ nhiệm lớp 12A9 tại trường THPT Nguyễn Du chuẩn bị 20 cuốn sách luyện đề nâng cao gồm: 6 cuốn môn Toán, 7 cuốn môn Vật lí và 7 cuốn môn Hóa học (các cuốn sách cùng môn là giống hệt nhau). Số sách này được chia ngẫu nhiên thành các phần thưởng tặng cho 10 học sinh có thành tích xuất sắc nhất tháng, mỗi học sinh nhận được một combo gồm đúng 2 cuốn sách thuộc hai môn học khác nhau để tiện việc ôn tập. Trong số 10 học sinh xuất sắc nhận thưởng đợt này có bạn Hùng và bạn Minh. Giả sử xác suất để combo sách mà bạn Hùng nhận được giống hết combo sách của bạn Minh là phân số tối giản $\frac{a}{b}$ (với $a$, $b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Tính giá trị của biểu thức $T=4a+4b$.