Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;0;1)$ và mặt phẳng $(P):2x+y+2z+5=0$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-\frac{z}{2}=1$. Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=3\cos x-3^x$ là:

Tích phân $I={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{2}x}$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2-x^2$ và $y=x$ bằng

Mọi mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q):2x-4y+4z+3=0$ và cách điểm $A(2,-3,4)$ một khoảng bằng 3 có dạng:

Cho ${\int }_1^{3}f(x)dx=2$. Khi đó:

Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ $v(t)=2,01t-0,025t^2(0\le t\le 10)$. Trong đó $v(t)$ tính theo (m/s), thời gian $t$ tính theo giây với $t=0$ là thời điểm xe xuất phát.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho 3 điểm $A(1;0;-2)$; $B(-1;2;4)$; $C(2;0;1)$ và $(P):2x-y+1=0$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Một người nông dân có một mảnh đất hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $8m$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $A(-4;4)$, $B(4;4)$, $C(4;-4)$, $D(-4;-4)$. Ông ta định chia mảnh đất thành ba phần bởi các parabol đi qua các đỉnh của hình vuông, đỉnh của parabol nằm trên $Oy$ như hình vẽ. Ông dự định trồng hoa trên phần đất nằm giữa hai parabol của mảnh đất này; trồng cỏ trên phần còn lại của mảnh đất.

Manhattanhenge (Hình 1) là một sự kiện diễn ra khi Mặt Trời mọc hoặc khi Mặt Trời lặn nằm thẳng hàng với các tuyến phố Đông - Tây thuộc mạng lưới đường phố chính tại quận Manhattan của thành phố New York. Khi mặt trời lặn, tia sáng song song mặt đất lệch một góc khoảng $38^{\circ }$ so với hướng tây (Hình 2).



Hình 1 (ảnh trái) và Hình 2 (ảnh phải)

Giả sử mặt tiền hai tòa nhà ở hai bên đường nằm trong 2 mặt phẳng song song cách nhau $30m$ và vuông góc với mặt đất. Biết rằng mặt phẳng chứa mặt tiền tòa nhà thứ nhất ở phía bắc đi qua gốc $O$ của hệ trục $Oxyz$, với tia $Oz$ vuông góc với mặt đất và hướng lên trên, tia $Ox$ chỉ về hướng Đông, tia $Oy$ chỉ về hướng Bắc như hình vẽ thì mặt phẳng chứa mặt tiền tòa nhà còn lại có phương trình dạng

$(Q):x+ay+bz+c=0$, với $c=\frac{m}{\cos n^{\circ }}$ $(m,n\in \mathbb{Z};m<0,0<n<180)$. Tính $n-m$.

Một phần sân trường được định vị bởi các điểm $A,B,C,D$ như hình vẽ. Ban đầu chúng được lấy "thẳng bằng" để có cùng độ cao, biết $ABCD$ là hình thang vuông ở $A$ và $B$ với độ dài $AB=25m$, $AD=15m$, $BC=18m$. Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở $C$ nên người ta lấy độ cao ở các điểm $B$, $C$, $D$ xuống thấp hơn so với độ cao ở $A$ là $10cm$, $3acm$, $6cm$ ta được các điểm tương ứng là $B_1,C_1,D_1$ ($A,B_1,C_1,D_1$ đồng phẳng). Biết $a=\frac{b}{c}$ với $b,c$ là số nguyên, $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $b-2c$

Một người chạy trong 2 giờ, vận tốc $v(km/h)$ phụ thuộc vào thời gian $t(h)$ có đồ thị là một phần của đường cong Parabol với đỉnh $I(1;5)$ và trục đối xứng song song với trục tung $Ov$ như hình vẽ. Tính quãng đường $S(km)$ người đó chạy được trong 1 giờ 30 phút kể từ lúc bắt đầu chạy (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Kiến trúc sư thiết kế một con đường để chia khu đất hình chữ nhật $ABCD$ với $AB=40m$, $AD=60m$ thành hai phần (hai lề đường là các đường cong $HEK$ và $PQIR$). Trong đó phần giới hạn bởi đường cong $HEK$ và các đoạn $AH$, $AB$, $BK$ là sân chơi, phần giới hạn bởi đường cong $PQIR$ và các đoạn $PD$, $DC$, $CR$ để trồng hoa (tham khảo hình vẽ). Nếu gắn một hệ trục tọa độ vuông góc có trục hoành, trục tung lần lượt cùng phương với các đường thẳng $AB$, $AD$ thì đường cong $PQIR$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $y=f(x)$. Đường cong $HEK$ nhận được bằng cách tịnh tiến đường cong $PQIR$ theo phương thẳng đứng lên phía trên $10m$. Biết $AP=30m$, $BR=20m$, điểm $Q$ cách các cạnh $AB$, $AD$ lần lượt $25m$ và $20m$, điểm $I$ cách các cạnh $AB$, $AD$ lần lượt $25m$ và $35m$. Gọi $S_1$ là diện tích phần sân chơi và $S_2$ là diện tích phần trồng hoa. Ta có $\frac{S_1}{S_2}=\frac{a}{b}$ với $a,b$ là số nguyên, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $2b-a$

Biết rằng $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(3x^2+\sqrt{x}\right)\mathrm{d}x=\frac{a+b\sqrt{2}}{3}$ với $a,b$ là các số nguyên. Giá trị của $a+b$ bằng?

Cho hình phẳng $(D)$ được giới hạn bởi các đường $y=x^2+2x+2$; $y=6-x$; $y=2$ và $(D)$ nằm ngoài Parabol $y=x^2+2x+2$ như hình vẽ. Khi cho $(D)$ quay quanh trục $Ox$, ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích $V=\frac{a\pi }{b}$, trong đó $a,b$ là các số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $P=a-b^2$ bằng bao nhiêu.