Cho hình phẳng $(D)$ được giới hạn bởi các đường $y=x^2+2x+2$; $y=6-x$; $y=2$ và $(D)$ nằm ngoài Parabol $y=x^2+2x+2$ như hình vẽ. Khi cho $(D)$ quay quanh trục $Ox$, ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích $V=\frac{a\pi }{b}$, trong đó $a,b$ là các số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $P=a-b^2$ bằng bao nhiêu.

(AI giải đề cho tôi)
Hình (D) nằm ngoài parabol (y ≤ x²+2x+2), trên đường y=2 và dưới đường y=6−x. Giao parabol với y=2: x=0, x=−2; giao đường thẳng với y=2: x=4; giao parabol với đường thẳng: x²+3x−4=0 → x=1 (nằm trong miền). Theo hình vẽ miền xét x từ 0 đến 4.

Thể tích: V = π[∫₀¹((x²+2x+2)² − 2²)dx + ∫₁⁴((6−x)² − 2²)dx].

Tính I₁ = ∫₀¹(x⁴+4x³+8x²+8x+4)dx − 4 = (1/5+1+8/3+4+4) − 4 = 178/15 − 4 = 118/15.

I₂ = ∫₁⁴(x²−12x+32)dx = [x³/3−6x²+32x]₁⁴ = (64/3+32) − (1/3+26) = 27.

V = π(118/15 + 27) = 523π/15. Vậy a=523, b=15 (phân số tối giản), P = a − b² = 523 − 225 = 298.