Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ).

Góc giữa hai đường thẳng $BC$ và $B^{\prime }{A}^{\prime }$ bằng góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây?

Nghiệm của phương trình ${\log }_2(x+1)=3$ là

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu

Thể tích $V$ của khối lăng trụ có chiều cao $h$ và diện tích đáy bằng $B$ là

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

Tập xác định của hàm số $y=3^x$ là

Biết $5^x=3$, khi đó giá trị của $x$ bằng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=BC=1,A{A}^{\prime }=\sqrt{6}$ (tham khảo hình vẽ).

Một hộp chứa 12 quả cầu cùng loại được đánh số 1 đến 12. Lấy ngẫu nhiên một quả. Xét các biến cố sau:
$A$: “Lấy được quả cầu ghi số chẵn”;
$B$: “Lấy được quả cầu ghi số chia hết cho 3”;
$C$: “Lấy được quả cầu ghi số nguyên tố”.

Giả sử sự tăng trưởng dân số của một quốc gia X được ước tính theo công thức $A=P{e}^{rt}$, trong đó $P$ là dân số của năm lấy làm mốc, $A$ là dân số sau $t$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Biết rằng vào năm 2025, dân số quốc gia X khoảng 65 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 0,92\%. Nếu tỉ lệ tăng dân số này giữ nguyên, hãy ước tính dân số quốc gia X vào năm 2055 bằng bao nhiêu triệu người (kết quả làm tròn đến hàng phần chục của triệu)?

Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn ${\log }_3(x+1)+{\log }_{\frac{1}{9}}16\le 1$?

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh bên bằng 3 và cạnh đáy bằng 4. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân)?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh 2, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=4$ (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$ bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ)?

a) Cho ${\log }_{2}m=5$. Tính giá trị của ${\log }_2\frac{m^3}{4}$.

b) Một cái chặn giấy có dạng hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy bằng $6cm$ và cạnh bên bằng $7cm$ được làm bằng thủy tinh. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu $c{m}^3$ thủy tinh để làm cái chặn giấy này (kết quả làm tròn đến hàng phần chục của cen-ti-mét khối)?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SC\perp (ABCD)$ và $SC=a\sqrt{2}$. Gọi $N$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh $(SAD)\perp (SCD)$.

b) Tính số đo góc nhị diện $[S,DN,C]$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

c) Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $DN$.