Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ).

Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây?

Nghiệm của phương trình ${\log }_3(x-1)=2$ là

Tập xác định của hàm số $y={\log }_{2}x$ là

Trong không gian cho mặt phẳng $(\alpha )$ chứa hai đường thẳng phân biệt $m$ và $n$. Điều kiện đủ để đường thẳng $d$ vuông góc với $(\alpha )$ là

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

Thể tích $V$ của khối chóp có chiều cao $h$ và diện tích đáy bằng $B$ là

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=A{A}^{\prime }=1$, $AD=\sqrt{2}$ (tham khảo hình vẽ).

Một hộp chứa 15 quả cầu cùng loại được đánh số từ 1 đến 15. Lấy ngẫu nhiên một quả. Xét các biến cố sau:
$A$: “Lấy được quả cầu ghi số lẻ”;
$B$: “Lấy được quả cầu ghi số chia hết cho 3”;
$C$: “Lấy được quả cầu ghi số nguyên tố”.

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh bên bằng 3 và cạnh đáy bằng 2. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân)?

Giả sử sự tăng trưởng dân số của một quốc gia X được ước tính theo công thức $A=P{e}^{rt}$, trong đó $P$ là dân số của năm lấy làm mốc, $A$ là dân số sau $t$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Biết rằng vào năm 2025, dân số quốc gia X khoảng 60 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 0,94\%. Nếu tỉ lệ tăng dân số này giữ nguyên, hãy ước tính dân số quốc gia X vào năm 2045 bằng bao nhiêu triệu người (kết quả làm tròn đến hàng phần chục của triệu)?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh 3, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=9$ (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$ bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ)?

Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn ${\log }_2(x-2)+{\log }_{\frac{1}{4}}25\le 1$?

a) Cho ${\log }_{3}n=7$. Tính giá trị của ${\log }_3\frac{n^2}{9}$.

b) Một cái chặn giấy có dạng hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy bằng $6cm$ và cạnh bên bằng $5cm$ được làm bằng thủy tinh. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu $c{m}^3$ thủy tinh để làm cái chặn giấy này (kết quả làm tròn đến hàng phần chục của cen-ti-mét khối)?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SB\perp (ABCD)$ và $SB=a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$.

a) Chứng minh $(SAD)\perp (SAB)$.

b) Tính số đo góc nhị diện $[S,CM,B]$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

c) Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CM$.