Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=A{A}^{\prime }=1$, $AD=\sqrt{2}$ (tham khảo hình vẽ).

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AB=A{A}^{\prime }=1$, $AD=\sqrt{2}$.

a) Sai: Chọn hệ trục $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;\sqrt{2};0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$. Mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ có pháp tuyến theo phương $\overrightarrow{AD}=(0;1;0)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }CD)$ chứa hai phương $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$ và $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0;\sqrt{2};-1)$ (lưu ý $B^{\prime }C$ cũng có phương này, không song song với $AD$), nên pháp tuyến của nó có phương $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{A^{\prime }D}$, tức dạng $(0;1;1)$. Tích vô hướng của hai pháp tuyến $(0;1;0)\cdot (0;1;1)=1\ne 0$, nên hai mặt phẳng không vuông góc. Vậy ý a) Sai.

b) Đúng: $D{D}^{\prime }\perp (ABCD)$ mà $BC\subset (ABCD)$ nên $D{D}^{\prime }\perp BC$.

c) Đúng: $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $C^{\prime }$ là hình chiếu của $C$ lên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$; góc giữa $A^{\prime }C$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ là góc giữa $A^{\prime }C$ và hình chiếu $A^{\prime }{C}^{\prime }$, tức góc $\widehat{C^{\prime }{A}^{\prime }C}$.

d) Sai: Giao tuyến của $(B^{\prime }{C}^{\prime }C)$ và $(ABCD)$ là $BC$, $A\in (ABCD)$, nên $d(A,(B^{\prime }{C}^{\prime }C))=d(A,BC)=AB=1\ne \sqrt{3}$.

Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai — khớp đáp án chính thức SĐĐS (mã đề 1001, Phần II Câu 1).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ có pháp tuyến theo phương $\overrightarrow{AD}=(0;1;0)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }CD)$ chứa hai phương $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$ và $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0;\sqrt{2};-1)$ (không chứa phương $\overrightarrow{AD}$), nên pháp tuyến của nó có phương $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{A^{\prime }D}$ dạng $(0;1;1)$. Tích vô hướng hai pháp tuyến bằng $1\ne 0$, nên hai mặt phẳng không vuông góc.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$D{D}^{\prime }\perp (ABCD)$ và $BC\subset (ABCD)$ suy ra $D{D}^{\prime }\perp BC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $C^{\prime }$ là hình chiếu của $C$ lên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$; góc giữa $A^{\prime }C$ và mặt phẳng là góc giữa $A^{\prime }C$ và hình chiếu $A^{\prime }{C}^{\prime }$, tức $\widehat{C^{\prime }{A}^{\prime }C}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(B^{\prime }{C}^{\prime }C)$ và $(ABCD)$ là $BC$, $A\in (ABCD)$, nên $d(A,(B^{\prime }{C}^{\prime }C))=d(A,BC)=AB=1\ne \sqrt{3}$.